Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
3. Основная теорема теории симметрических полиномов.
Лемма. Показатели в высшем члене симметрического полинома образуют невозрастающую последовательность.
Доказательство. Пусть F{x\, х2, ...,хп)—симметрический полином и Лх^'х™2 ... х"а — его высший член. Нужно доказать, что ai ^ Ct2 ^ ап. Допустим противное, что при некотором і имеет место at < a,+i. Переставив в одночлене Лх"1 ... ... х^'х"!!1 ... Xn" местами Xi и х(+ь мы получим одночлен Ax^1...'x°|j.. .х"«, который тоже содержится в F, в силу симметричности. Но построенный одночлен выше исходного, так как показатели при хх, х;_і у них одинаковые, а показатель а,+1 при Xi во втором одночлене больше показателя ai при Xi в исходном. Мы пришли к противоречию с тем, что исходный одночлен был высшим. Это противоречие и дает доказательство леммы.
Теорема 2 (основная теорема теории). Любой симметрический полином может быть представлен в виде полинома от основных симметрических полиномов. Коэффициенты в таком представлении являются целочисленными линейными комбинациями коэффициентов исходного полинома.
Доказательство. Достаточно ограничиться рассмотрением однородных симметрических полиномов. Пусть F(Xi, х2, Xn) — однородный симметрический полином и Лх"'х"2 ... х™« — его высший член. Допустим сначала, что коэффициенты F — целые числа. Подберем одночлен от основных симметрических полиномов /2, ..., fn так, чтобы высший член этого одночлена как полинома от Xi, х2, Xn^совпал с Лх™(х22... х"". Ясно, что вьц>
286
симметрические полиномы
{Г Л XI
шие члены полиномов {и /г,. •., fi равны, соответственно Х\, Х\х2,.
• . . , Х\Х2 . . . Xrj.
Подходящим одночленом является Л/"1"-"2/"2-"3 • • • /""Т1""^""-
В силу леммы все показатели неотрицательны, так что этот одночлен является полиномом от Xu х2, .... хп. Его высший член равен
Ax^(X1X2)^ ... (X1X2 ... х^-^п(X1X2 ... =
= Аха^...хапп_Гху.
Число А, согласно предположению, целое, коэффициенты всех основных симметрических полиномов целые, следовательно, все коэффициенты полинома Л/"1-"2/"2-"3 ... /"«у1""«/°" целые. Полином
F1(X1, х2, ...,Xn)^F(X1, х2,...,хп)-АЬ'а^ ... Г/Л1""" f> есть снова симметрический полином с целыми коэффициентами, но его высший член Bx^x22 ... х^п будет ниже высшего члена полинома F, ибо при вычитании высшие члены уменьшаемого и вычитаемого взаимно уничтожились. Процесс повторяется. Из полинома Fi(Xi, х2, Xn) вычитается полином B/^-"2/^-^ ... Фп, В результате получается симметрический полином F2(Xu х2,Xn), снова с целыми коэффициентами и со старшим членом еще ниже Процесс не может продолжаться без конца, ибо одночленов фиксированной степени (и тем более таких, которые могут быть высшими членами симметрических полиномов), каждый из которых ниже предыдущего, может быть лишь конечное число. Процесс может оборваться только на том, что при очередном вычитании получится 0. Итак,
F(X1, X2.....хн) = АГГа*Г2*-а* ••• ^T1"""/"/ +
+ ... fnn_r-*nfnn+ ...
Все коэффициенты А, В, ... будут целыми числами.
Теперь снимем предположение о том, что коэффициенты исходного полинома были целыми числами. Представим полином в виде суммы моногенных и в каждом моногенном слагаемом вынесем за скобки коэффициент, общий для всех его членов. В скобках останется полином с коэффицеинтами 1, и его представление через основные полиномы будет иметь целые коэффициенты, а, следовательно, коэффициенты в представлении данного моногенного слагаемого будут целыми кратными коэффициента его одночленов. Из различных моногенных слагаемых могут возникнуть подобные члены в их представлениях через основные, и, после приведения, получится полином от /i, f2, fn с коэффициентами,
ВЫРАЖЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОСНОВНЫЕ
287
являющимися целочисленными линейными комбинациями коэффициентов исходного полинома. Теорема доказана полностью.
Эти же идеи позволяют доказать единственность представления симметрического полинома в виде полинома от основных симметрических полиномов.
Предложение 3. Отличный от нуля полином от основных симметрических полиномов отличен от нуля и как полином от
Л'ь X2, • • • , Xn.
Доказательство. Пусть Ф(/„ f2, fa) = Aftfc ... fy + + Bf[lfl22 • • • fn + • ¦ •> причем среди слагаемых нет отличающихся только коэффициентом. Высший член одночлена Af11I22 ... fknn как полинома от х\, х2, ..., Xn равен
Ax^+к*+ ••¦ +*плл+*з+ ••• +*».., хп*.
Аналогично определяются высшие члены других одночленов. Различные одночлены имеют различные высшие члены, и самый высший из них получается лишь из одного одночлена и не имеет подобных среди членов других слагаемых. Поэтому Ф(/ь f2,..., f«), не равный нулю как полином от f\, f2, fn, не может стать равным нулю как полином от Х\, х2, ..., Xn-
Отсюда непосредственно следует единственность представления симметрического полинома в виде полинома от основных, ибо если бы были два различных представления, разность представлений была бы отличным от нуля полиномом от основных симметрических полиномов, равным нулю как полином от Х\, X2.....хп, что
