Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
¦278
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. X
а2у ..., cik, чтобы их порядки совпадали с порядками й2, ..., ик. Тогда они порождают подгруппу F, изоморфную G/H, т. е. пред-ставимую в виде прямой суммы циклических групп H2, ..., Нк, изоморфных H2, Hk. В силу предложения 6 группа G равна H1 0 F = H1 Ф H2 Є ... Є Нк.
Таким образом, для завершения доказательства теоремы нам. нужно позаботиться о выборе представителей из классов a2, ...,ак. Пусть раг — порядок й2. Ясно, что а2 ^ ? ^ осі. Выберем из класса U2 какой-либо элемент а2. Тогда ра,а2^Нх, так что ра-а'2 = tax при некотором целом (.Далее, раі~а2раш'2 = 0, так что раі~а2Іа1 = 0. Это значит, что ра'~аН делится на ра> и / делится на раг, t = pa4x. Положим а2 = а'2 — Z1O1GEa2. Тогда ра*а2 = ра2а2 — pa2txax = tax — (a,= = 0. Выбранный представитель а2 класса й2 удовлетворяет поставленному требованию. Аналогично выбираются представители из классов аз, ..., ak. Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что порядок примарной абе-левой группы равен степени того же простого числа, которое входит в аннулятор. Так как порядок прямой суммы групп равен произведению порядков слагаемых, мы видим, что порядок конечной абелевой группы есть произведение степеней простых чисел, входящих в аннулятор, так что примарные сомножители канонического разложения порядка группы совпадают с порядками примар-ных прямых слагаемых.
4. Инвариантность порядков циклических прямых слагаемых прнмарной абелевой группы. Разложение примарной абелевой группы G в прямую сумму циклических подгрупп не однозначно, но тем не менее число прямых слагаемых и их порядки не зависят от способа разложения. Чтобы доказать это, обозначим через Ix число прямых слагаемых максимального порядка ра, через t2—-число прямых слагаемых порядка ра~1, через ta — число прямых слагаемых порядка р. Тогда pG есть прямая сумма tx циклических групп порядка pa~l, t2 циклических групп порядка ра~2, ... .... ta-i циклических групп порядка р. Поэтому GIpG есть прямая сумма групп порядка р в количестве tx + t2 + ... + ta и ее порядок равен р*і+і2+¦¦¦+ta. Таким же образом pG/p2G есть прямая сумма (1 + (2+ . • • + 'a-i групп порядка р и ее порядок равен ptx+t2+ ¦ •• +<„_, и т д_ Таким образом, суммы (1 + (2+ ... + (а, /1 + (2+ ... +(<х-і, •••> tx-\-t2,tx имеют инвариантный смысл как показатели при р в порядках факторгрупп p'^G/p'G. СледоВа? тельно, числа (i, t2, ta тоже инвариантны.
§ 9. Конечно порожденные абелевы группы
1. Подгруппы конечно порожденных абелевых групп. Пусть G — аддитивно записанная абелева группа с конечным числом образующих ui, и2, ип. Тогда все ее элементы представляются в
КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
279
виде
miUi + m2«2+ •-. ¦YmnUn
с целыми т\, т2, тп, причем такая запись может быть неоднозначной из-за наличия соотношений между образующими.
Теорема 1. Подгруппа конечно порожденной абе левой группы конечно порождена, и ее образующие можно выбрать так, чтобы их число было не больше числа образующих группы.
Доказательство. Пусть G— абелева группа с образующими ии U2, . • ¦, Un и H — ее подгруппа. Доказательство проведем методом математической индукции по числу образующих. Для групп с одним образующим ии т. е. для циклических групп, теорема верна, ибо всякая подгруппа конечной или бесконечной циклической группы сама циклична и порождается элементом ku\ с наименьшим натуральным k. Допустим, что теорема верна для подгрупп группы, порожденной меньше чем п образующими, и в этом предположении докажем ее для подгрупп группы с п образующими.
Рассмотрим элемент Ui = miu\ 4- m2u2 -f- ... + mnun є H с наименьшим натуральным коэффициентом mi. Покажем, что для любого V = hu\ 4- Z2U2 4- ... -{-InUn^H коэффициент 1\ делится на m\. С этой целью выполним деление с остатком: Ii = niiq 4- г, О г Sg: mi — 1, и положим v' = v — qvx = rux 4- т^2+... 4-т^мпе є Н, откуда заключаем, в силу минимальности mi, что г = О, так что v' = V — qvx = m'2u2 + ... 4- m'nun. Обозначим через Gr
подгруппу G, порожденную ы2, ..., ип. Тогда v' є H' = H Г) G'. Группа H' является подгруппой группы G', имеющей п—1 образующий. В силу индуктивного предположения, H' конечно порождена и образующие можно выбрать так, что их число не больше п—1. Пусть V2, Vn — эти образующие (некоторые из них могут быть равны 0). Тогда v' = k2v2 4- ... 4- knvn при целых ki и V = qvi + о' = qvi 4- k2v2 + ... 4- knvn. Поэтому v\, v2, сообразующие группы Я и их число равно п или меньше, если среди них есть нули. Теорема доказана.
2. Целочисленные унимодулярные матрицы.
Предложение 2. Для того чтобы матрица А с целыми элементами имела обратную Л-1 тоже с целыми элементами, необходимо и достаточно, чтобы det А «== ±1.
Доказательство. Пусть А и Л-1 имеют целые элементы. Из равенства ЛЛ-1 = E следует, что det Л •det Л-1 «= 1, но оба эти определителя — целые числа. Поэтому det Л = ± 1. Это условие и достаточно, ибо союзная с Л матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения к элементам матрицы Л, имеет целые элементы, а матрица Л-1 получается из союзной делением на det Л== ±1, так что элементы Л~' — тоже целые числа.
