Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
(ао, а......aft_i) = (a0, at) (а0, а2) ... (ао, ak-i),
откуда следует, что цикл нечетной длины является четной подстановкой, цикл четной длины — нечетной. Поэтому четность или нечетность подстановки совпадает с четностью или нечетностью количества циклов четной длины.
Предложение 2. Пусть а — подстановка, разложенная на циклы, иг — некоторая другая подстановка. Тогда, чтобы получить подстановку тНот, нужно сделать подстановку т в каждом цикле подстановки а.
Доказательство. Пусть
<т = (а0, аи ..., ak_i)(b0, bu 6m_,) ... (с0, си cp_t),
Sa0 а, ... aft_, Ь0 6, ... *ж_, ... cQ с, ... ср_,\
t = I/ ' г JJ J ' ' ' I.
\аа (ц ... яА_, b0 O1 ... om_, ... с0 C1 ... с , J
Тогда х~1
/ Г Г Г JJ .Г It Zn
Za0 а, ... aft_, b0 O1 ... ... с0 C1 ... ср_, Л
Л «О «1 '•• ak-\ 6O Ь\ ••• bm-l ••¦ С0 С\ ••• Ср-\)
f Проследим за действием подстановки T-1Ot на элементы а'0, U1.....a'k_{ и т. д. Подстановка •H переводит а' в а0, а переводит ао в аи т переводит at в а{. Следовательно, х~хах переводит а'0 в а'х.
264
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
|ГЛ. X
Таким же образом прослеживается судьба элемента а\. Он сперва переходит в а\, затем а\ в а2 и а2 в а'2, так что а\ переходит в а'? Наконец, a'k_x переходит в ак-\, ?*-i в а\ и а( в а[, так что цикл (а'0, а\, a'k_) замыкается. То же самое происходит и с остальными циклами, так что
т-1от = (а0, а[, a'k_x) (Ь'0, Ъ\, *'„_,) ... (cj, <?_,).
Отсюда следует
Теорема 3. Для того чтобы две 'подстановки были сопряжены в симметрической группе, необходимо и достаточно, чтобы они имели разложения на циклы одинаковых порядков.
Необходимость непосредственно следует из предложения 2. Достаточность — из того, что в симметрической группе существуют подстановки, переводящие любое расположение элементов в любое другое.
В силу этой теоремы число классов сопряженных элементов в симметрической группе Sn равно числу разбиения числа п на слагаемые, порядок которых безразличен. Так, число 5 допускает разбиения 5 = 5, 5 = 4 + 1, 5 = 3 + 2, 5 = 3+1 + 1, 5 = 2 + 2+1, 5 = 2+1 + 1 + 1 и 5=1 + 1 + 1 + 1 + 1. Поэтому в группе S5 имеется 7 классов сопряженных элементов.
5. Примеры из геометрии. Пусть M — множество точек на плоскости и G — группа всех движений плоскости. Стабилизатором точки является группа вращений вокруг этой точки. Между точками плоскости и левыми классами смежности группы всех движений по группе вращений вокруг точки имеется изоморфное соответствие.
Элементарная геометрия изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при движениях. Одно из основных понятий геометрии — расстояние между двумя точками — можно рассматривать как инвариантную величину, связывающую пару классов смежности полной группы движений плоскости по подгруппе вращений.
Можно сказать, что пара групп G zd Я определяет некоторую геометрию, в которой точками являются левые классы смежности G по Я, а движениями — правые умножения классов смежности на элементы из G. Взгляд на геометрию с точки зрения теории групп был развит немецким математиком Ф. Клейном в конце 19-го века.
Геометрия Лобачевского укладывается в эту схему следующим образом. Рассматривается группа дробно линейных преобразований z н-*¦ яг І" \ комплексных чисел, где а, ?, v. б — вещественные
коэффициенты, удовлетворяющие зависимости GtO — ?v = 1 - Верхняя полуплоскость оказывается однородным пространством для
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
265
этой группы. Действительно, если z = X + yi при у > О, то
gz + ? ау (х2 + у2) + (а& + ?y) * + ?6 + (аб - ?y) yi yz + b~ (ух + o)2 + у2!/2
аг + ? у
так что мнимая часть числа yz_^$ , равная + + г 2 , положительна. Легко проследить, что для любой пары г, г' комплексных чисел с положительными мнимыми частями найдутся вещественные а, ?, у» 6, аб — ?y = l, такие, что -z' = ^ д • Действительно, положив z'= х'+ z = x+yi, получим равенство, равносильное требуемому:
(*' + У'і) (V (* + Уі) + 6) = а {X + у і) + ?.
Можно даже положить 6 = 0. Отделив вещественную часть от мнимой, получим два линейных однородных уравнения, связывающих а, ? и у, из которых найдем
откуда
xy' + х'у — уу' (X2 + у2) -У-- P =--у-
ao-?v=^'2 + ^.
Г Г у
Положив Y = А/ ' і Jл. „г\ ' получим требуемое. V У \Х -г У )
Верхняя полуплоскость, в которой движения определены как указанные дробно-линейные преобразования, является моделью плоскости Лобачевского, эта модель связана с именем Пуанкаре. Стабилизатором точки і является группа, образованная преобразованиями z и—» "^f при условии a2 + ?2 = 1. Следователь-
но, точки плоскости Лобачевского находятся в изоморфном (по отношению к группе движений) соответствии с левыми классами
смежности группы дробно-линейных преобразований z' = д с вещественными a, ?, у, б и аб — ?y = 1 по подгруппе, составленной из преобразований _°рг"^а при а2 -f- ?2 = 1.
6. Централизатор элемента и нормализатор подгруппы. В п. 2
мы рассматривали группу G как G-операторное множество, полагая, аг = z-yaz для оєС и гєо, т. е. рассматривая действие элементов G как соответствующие им внутренние автоморфизмы. В этой ситуации орбитами являются классы сопряженных элементов, и каждый класс является однородным пространством. Пусть С— некоторый класс сопряженных элементов и а єе С. Стабилизатором элемента а является множество всех z є= G, обладающих свойством Z-1OZ = а, т. е. az = za. Таким образом, стабилизатором элемента а является множество всех элементов группы, коммутирующих с а. Это множество образует подгруппу группы G1
