Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 111

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 168 >> Следующая


Первый образующий v\ равен 0, и его можно исключить из системы образующих. Таким образом, число образующих уменьшилось на 1. Если полученные образующие свободны — процесс окончен. Если не свободны, то тем же приемом можно еще уменьшить на 1 число образующих. Через конечное число шагов мы должны прийти к системе свободных образующих. Теорема доказана.

7. Конечно порожденные абелевы группы в общем случае. Множество элементов конечного порядка конечно порожденной группы G образует, очевидно, подгруппу. Эта подгруппа, в свою очередь, конечно порождена и, так как ее образующие имеют конечные порядки, она конечна. Подгруппа элементов конечного порядка группы G называется ее подгруппой кручения.

Теорема 7. Факторгруппа конечно порожденной абелевой группы G по подгруппе кручения есть группа без кручения и, .следовательно, свободная.

Доказательство. Пусть й — некоторый элемент факторгруппы G[H, где H — подгруппа кручения. Допустим, что ma = 0 при целом тфО. Тогда, если а єе о", то та еЯ, Все элементы подгруппы H имеют конечные порядки, следовательно, при некотором целям mi Ф 0 будет mytna = 0. Но это значит, что а єе Я

КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

263

и a = 0. Таким образом, G/H не имеет элементов конечного порядка кроме нуля и является группой без кручения. Ранг группы G/H как свободной абелевой группы называется также рангом группы G.

Теорема 8. Конечно порожденная абелева группа G разлагается в прямую сумму группы кручения H и свободной абелевой группы с числом свободных образующих, равным рангу G/Н.

Доказательство. Пусть щ, й2, а, —свободные образующие группы G/H. Возьмем произвольно элементы ?ieai, иг є O2, ar^ar. Элементы аь а2, аг порождают свободную подгруппу F группы G, ибо каждое соотношение niiui + + m2a2 + ... + mrar = 0 влечет за собой соотношения ni\a\ + -j- m2a2 + ... + ntrar = 0. Элементы группы F содержатся по одному во всех классах смежности, составляющих G/H. Согласно предложению б из § 8, группа G равна прямой сумме HnF.

Разумеется, разложение G = H 4- F не однозначно, хотя подгруппа HbG однозначно определена. Неоднозначность обусловлена тем, что элементы Ci1 а2, а, выбираются внутри классов смежности o~i, O2, ar произвольным образом.

Из всего сказанного следует, что конечно порожденная абелева группа G разлагается в прямую сумму циклических групп, при-марных конечных и бесконечных. Число бесконечных прямых слагаемых равно, рангу группы G, порядки примарных конечных циклических прямых слагаемых определены группой G (точнее, ее подгруппой кручения) однозначно. Эти порядки носят название коэффициентов кручения группы G. Задание ранга и коэффициентов кручения определяет группу G с точностью до изоморфизма. Для любых наперед заданных значений ранга и коэффициентов кручения существует соответствующая абелева конечно порожденная группа.

ГЛАВА XI СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ

§ 1. Выражение симметрических пэлииов через основные

1. Лексикографическое расположение одночленов в полиноме.

Пусть F(x\, X2.....Xn)—полином с коэффициентами из некоторой области целостности. Расположим его по убывающим степеням буквы X1. Одночлены, содержащие х\ в одинаковой степени, расположим по убывающим степеням буквы х2, одночлены, содержащие Xi и х2'в одинаковых степенях, расположим по убывающим степеням буквы X3 и т. д. Одночлены расположатся в так называемом лексикографическом порядке, напоминающем расположение слов в словарях. Будем говорить, что предшествующий в лексикографическом порядке одночлен выше последующих. Из определения ясно, что одночлен Ax^x22 ... хапп выше одночлена Bx^х\г ... хпп в том и только в том случае, когда первая отличная от нуля среди разностей ai — ?i, а2 — ?2, ап— ?„ положительна.

Одночлен, который находится на первом месте при лексикографическом упорядочении, носит название высшего члена полинома. Ясно, что если F (xv х2, .... хп) = aQ (х2, X3,..., Xn) xf + at(x2, х3,... ... , Xn)Xf*1+ ... , то высшим членом полинома F является произведение Xf на высший член полинома а0(х2, х3, Xn).

Предложение 1. Высший член произведения двух полиномов равен произведению высших членов сомножителей.

Для п = 1 это верно. Остается применить тривиальным образом математическую индукцию, учитывая замечание, предшествующее формулировке предложения.

Предложение 1 естественно распространяется на произведение любого числа полиномов.

2. Симметрические полиномы. Полином F(xi, X2, . . ., Xn) называется симметрическим,^сли он не изменяется при всех перестановках входящих в него букв. Примерами симметрических полиномов могут служить так называемые степенные суммы — суммы одинаковых степеней букв. Особо важное место занимают так называемые основные или элементарные симметрические

ВЫРАЖЕНИЕ ЧЕРЕЗ ОСНОВНЫЕ

285

полиномы:

fi = Xi + X2 + • • • + хп>

f2 = XiX2~\-X[X3-\- ... -f- Хп_\Хп, fz = XiXoX3 + XiX2Xi + . . . + Xn-2Xn-iXn,

In-I = XiX2 . . . Xn-I + . . . + X2X3 ... Xn, fn = XiX2 . . . Xn.

Полином называется моногенным, если все составляющие его одночлены получаются один из другого посредством перестановки букв. Очевидно, что каждый моногенный полином является симметрическим. Из определения симметрического полинома ясно, что если он содержит какой-либо одночлен, то он содержит все одночлены, получающиеся из него перестановками букв, и их сумма составляет моногенный полином. Поэтому любой симметрический полином есть сумма моногенных. Объединяя вместе моногенные полиномы одинаковой степени, получим, что любой симметрический полином есть сумма однородных симметрических полиномов.
Предыдущая << 1 .. 105 106 107 108 109 110 < 111 > 112 113 114 115 116 117 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed