Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 104

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 168 >> Следующая


Предложение 4. Внутренние автоморфизмы обрадуют нормальную подгруппу группы всех автоморфизмов.

268

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

[ГЛ X

Доказательство. Будем обозначать автоморфизмы как правые операторы в показателе, внутренний автоморфизм, вызванный сопряжением посредством элемента z, обозначим аг. Нужно доказать, что при любом автоморфизме а автоморфизм а~'ага есть тоже внутренний автоморфизм. Применим автоморфизм a~laza к произвольному элементу а группы. Получим:

В силу того, что а — автоморфизм, это выражение равно

(za)~l (aa_1) za = (za)~ aza, так что a~laza есть внутренний автоморфизм посредством элемента za.

Факторгруппа группы всех автоморфизмов группы по подгруппе внутренних автоморфизмов называется группой внешних автоморфизмов.

Предложение 5. Группа внутренних автоморфизмов группы G изоморфна факторгруппе группы G по ее центру.

Доказательство. Мы уже рассматривали группу G как

G-МНОЖеСТВО ПО ОТНОШеНИЮ К деЙСТВИЮ СОПрЯЖеНИЯ йг = 2T1UZ.

Это действие индуцирует в G группу преобразований. Стабилизатором элемента аєо является централизатор о, пересечение всех централизаторов есть центр G, ибо если элемент принадлежит централизаторам всех элементов, то он должен быть перестановочен со всеми элементами G, т. е. должен принадлежать центру и, конечно, каждый элемент центра принадлежит централизаторам всех элементов. В силу п. 8 группа внутренних автоморфизмов действительно изоморфна факторгруппе по центру.

Любая абелева группа не имеет нетривиальных внутренних автоморфизмов, ибо в абелевой группе z~laz = а при любых а и z. Внешние же автоморфизмы есть даже у циклических групп. Бесконечная циклическая группа, порожденная элементом а, имеет лишь один нетождественный автоморфизм aAi—>a~k. Действительно, образующим бесконечной циклической группы будет либо а, либо а-1. Ясно, однако, что любой автоморфизм должен переводить образующий в образующий. Автоморфизм а*—>а есть тождественный автоморфизм, автоморфизм а>—>а~] преобразует ак в а~к.

Для конечной же циклической группы порядка п существует ф(«) автоморфизмов, именно, автоморфизм может преобразовать образующий а в любой другой образующий, а таковыми являются ат при (т, п)=\, причем т нужно рассматривать по модулю п.

Группа, центр которой состоит только из 1, и все автоморфизмы внутренние, называется совершенной. Можно доказать, что симметрические группы Sn подстановок совершенны при п = 3, п = 4, п = Ъ и п > 6. Для группы же S6 факторгруппа группы всех автоморфизмов по группе внутренних автоморфизмов имеет индекс 2. Доказательства этих предложений не очень просты.

СВОБОДНАЯ ГРУППА

269

§ 6. Свободная группа

1. Свободная полугруппа. Пусть задано конечное множество элементов ai, а2, ап, называемых буквами. Это множество называется алфавитом. Последовательности а. а. ... а, букв алфа-

вита называются словами. Присоединение к данному.слову справа второго слова называется умножением слов. Ясно, что это действие ассоциативно, так что по отношению к нему слова составляют полугруппу. Естественно ввести в рассмотрение пустое слово. Оно играет роль единицы в полугруппе слов. Так построенная полугруппа называется свободной полугруппой, порожденной данным алфавитом.

2. Свободная группа. Свободная полугруппа, конечно, не является группой, так как произведение непустых слов непусто, так что у непустого слова не может существовать обратного.

Для построения на этом пути группы применим следующую конструкцию. К алфавиту 5 = {аи } присоединим вто-

рой алфавит S= {ai,a2,_. . ., an). Строим слова в объединении этих алфавитов T = S[JS и вводим для слов в алфавите T отношение эквивалентности следующим образом. Вставкой в слово в алфавите T мы назовем присоединение между двумя буквами (или в начале слова, или в его конце) слова aiat или a,-a,-. Сокращением слова назовем исключение из слова его части вида a,a; или а,-а,-. Два слова назовем эквивалентными, если от одного из них можно перейти ко второму посредством конечного числа вставок и сокращений. Ясно, что если два слова эквивалентны третьему, то они эквивалентны между собой, так что все слова разбиваются на непересекающиеся классы эквивалентных слов. Столь же ясно, что если слово Ai эквивалентно слову Bi и слово A2 эквивалентно слову B2, то слово AiA2 эквивалентно слову BiB2. Это позволяет ввести естественным образом умножение классов слов, считая произведением классов тот класс, который содержит произведение каких-либо слов из этих классов. Класс, содержащий пустое слово, является единицей при этом, умножении. Ассоциативность умножения, очевидно, следует из ассоциативности умножения слов в свободной полугруппе. Классы, содержащие о,- и а,, взаимно об-ратны, ибо слова a,a, и a,a, превращаются в пустое слово после сокращения. Наконец для класса, содержащего любое слово, существует обратный: если класс содержит слово Ь\, Ь2, ..., bk при ft, е Г, то обратным будет класс, содержащий слово Bk ... B2Bt (здесь под at понимается а,).

Итак, множество классов эквивалентных слов образует группу. Она называется конечно порожденной свободной группой. Классы, содержащие буквы алфавита S, являются ее образующими.
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed