Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 106

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 168 >> Следующая


272

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

[ГЛ. X

Zi= 1 и Zj= \ — два соотношения, то соотношение z«z/ = 1 является их следствием, и, наконец, если Zi = 1 есть соотношение, то при любом у є G соотношение y~lzty = 1 тоже считается следствием.

Доказательство. Рассмотрим свободную группу с образующими ai..... а, и в ней наименьшую нормальную подгруппу,

содержащую Доь w2, ..., wm. Напомним, что эта подгруппа состоит из элементов Доь W2, .... wm, обратных к ним элементов, сопряженных с ними и произведений всех таких элементов. Гомоморфный образ G свободной группы с так построенным ядром будет иметь предписанные соотношения. Другие соотношения будут определяться всеми элементами ядра гомоморфизма, и в силу устройства этого ядра, будут следствиями предписанных соотношений в описанном выше смысле.

Если в группе, кроме предписанных соотношений и их следствий, выполняются еще какие-либо соотношения, то ядро гомоморфизма будет содержать указанную нормальную подгруппу, и, в силу свойства универсальности факторгруппы, группа будет гомоморфным образом группы G.

Доказанная теорема дает возможность задавать группы при помощи задания образующих и соотношений между ними. Эти соотношения называются определяющими соотношениями. Группы, имеющие конечное число образующих и конечное число определяющих соотношений, называются конечно определенными. Именно такие группы часто возникают в приложениях теории групп к геометрии и топологии. Иногда определяющие соотношения таковы, что элементам группы удается дать некоторую каноническую запись, и умножение элементов в канонической записи не представляет труда. Рассмотрим примеры этого рода.

Пример 1. Группа задана двумя образующими а и о, связанными соотношениями а2 = 1 (т. е. a = a-1), b3 = 1 и aba = b2. Очевидным следствием из этих соотношений является ab2a = Ь. Последние два соотношения можно записать в форме ba = ab2 и b2a = ab. Эти соотношения позволяют переносить образующий а через b или Ь2 справа налево, заменяя b на Ь2 и Ь2 на Ь. Это позволяет записать любой элемент группы в форме akbm при k = О, 1 и m = 0, 1,2. Рассматривая элементы этого вида формально, с правилами умножения, вытекающими из правила переноса а справа налево и условий а2= I и Ь3=\, нетрудно проверить, что символы akbm действительно образуют группу. Она конечна,' ее порядок равен 6. Легко видеть, что она изоморфна симметрической группе подстановок трех элементов. Изоморфизм дается соответствием аь-2), b^-*¦(l, 2, 3).

Пример 2. Группа задана двумя образующими с и а и соотношениями а2 = 1 и аса = с~К Здесь образующий с свободен, т. е. порождает бесконечную циклическую группу. Очевидным следствием из этих соотношений является аста = с~т при любом це-

«я

СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП

273

лом т, т. е. преобразование сопряжения посредством а вызывает в подгруппе, порожденной образующим с, единственный нетривиальный автоморфизм. Из соотношения аста = с~т следует правило переноса образующего а справа налево, именно, ста = ас-"'. Это правило позволяет записать любой элемент группы в виде ааст ПрИ & = о, і и любом целом т. Легко проследить, что символы акст при умножении с правилами, обусловленными соотношениями о2 = 1 и ста = ас~т, действительно образуют группу. Эта группа нам еще встретится в следующем параграфе.

Однако при задании группы образующими и определяющими соотношениями имеет место одна принципиальная неприятность. Если даны два элемента группы, записанные через образующие, как узнать, равны они или нет? Вопрос легко решается, если соотношения таковы, что существует каноническая форма записи. Однако такой характер соотношений является скорее исключением, чем правилом. Проблема распознавания равенства элементов группы, заданной образующими и определяющими соотношениями, называется проблемой тождества в теории групп. Для свободной группы она решается благодаря канонической записи элементов в виде несократимых слов. Проблема получила положительное решение для групп с одним соотношением. Однако в 1952 г. П. С. Новиков доказал, что не существует алгорифма, позволяющего решать проблему тождества в общей постановке. Более того, им построена такая система определяющих соотношений между образующими, что не существует алгорифма для решения проблемы тождества в группе, заданной этими образующими и соотношениями. При этом доказательство потребовало точного определения того, что такое алгорифм, и привлечения средств современной математической логики.

Разумеется, несуществование общего алгорифма для любых элементов не значит, что задача не может быть решена индивидуальным приемом для заданной пары элементов. Из того, что алгорифмически неразрешима массовая проблема, не следует неразрешимость индивидуальных проблем.

По своей принципиальной значимости результат П. С. Новикова находится в одном ряду с классическими «отрицательными» результатами в математике, такими, как недоказуемость постулата Евклида о параллельных (следующая, например, из непротиворечивости геометрии Лобачевского) и неразрешимость в радикалах общих алгебраических уравнений пятой степени и выше.
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed