Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
266
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
ГГЛ X
называемую централизатором элемента а. В силу п. 3 элементы класса сопряженных с а элементов находятся во взаимно однозначном соответствии с левыми классами смежности группы G по централизатору элемента а. В частности, если класс сопряженных элементов конечен, то число составляющих его элементов равно индексу централизатора любого элемента из этого класса.
Термин «централизатор» элемента а связан с тем, что централизатор а является наибольшей подгруппой, содержащей а в своем центре.
Элементы группы G можно рассматривать как действующие на множестве всех подгрупп группы G в виде соответствующих внутренних автоморфизмов: H-*¦ Z-1Hz. В этой ситуации орбитами будут классы сопряженных подгрупп. Стабилизатором для подгруппы H является множество всех таких z є G, что Z-1Hz = H. Этот стабилизатор носит название нормализатора группы Н, ибо он является максимальной подгруппой, для которой H является нормальной подгруппой. Отсюда следует, что между сопряженными с группой H подгруппами и левыми классами смежности группы G по нормализатору H имеется взаимно однозначное соответствие, осушествляющее изоморфизм между однородными пространствами, состоящими из сопряженных с H подгрупп, и классами смежности по нормализатору.
7. Центр р-группы. Конечная группа называется р-группой, если ее порядок есть степень простого числа р. Ясно, что все подгруппы р-группы являются р-группами и индекс любой подгруппы в р-группе равен некоторой степени р.
Разобьем р-группу G порядка р" на классы сопряженных элементов. Среди классов будут одноэлементные, образованные элементами центра, причем их число не меньше 1, ибо единица группы образует одноэлементный класс. Пусть число элементов центра равно t. Все элементы, не принадлежащие центру, порождают классы сопряженных, содержащие больше одного элемента. Пусть эти классы Ci, C2, Ck. Число элементов в каждом таком классе есть индекс централизатора любого элемента класса и, следовательно, является степенью р'" с большим нуля показателем т.
Пусть число элементов в классе С, равно рт', пц > 0. Подсчет числа элементов группы G как суммы чисел элементов во всех классах сопряженных дает
P =/ + Р '+P 2 + ... + P к.
Из этого равенства заключаем, что / делится на р, и, так как 1, будет / ^ р. Таким образом, мы доказали, что любая конечная р-группа имеет нетривиальный центр. Конечно, порядок t центра равен степени р.
8. Преобразования. Взаимно однозначное отображение множества M на себя называется его преобразованием. Тождествен-
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
267
ное или единичное преобразование заключается в том, что каждый элемент отображается на себя. Последовательное осуществление двух преобразований равносильно третьему преобразованию, называемому их произведением. Умножение преобразований (в указанном смысле), очевидно, ассоциативно. Для каждого преобразования существует обратное, в силу взаимной однозначности преобразований. Для конечных множеств преобразования называются подстановками, и мы уже встречались с группой всех подстановок конечного множества — так называемой симметрической группой. Для бесконечных множеств группы всех преобразований совершенно необозримы, и рассматриваемые в математике группы преобразований выделяются посредством тех или иных достаточно сильных ограничений, связанных с особенностями строения рассматриваемых множеств.
Гомоморфное отображение группы G в группу преобразований некоторого множества называется представлением группы G посредством преобразований. Множество М, преобразованиями которого представляется группа G, становится G-множеством, если каждому элементу G сопоставить в качестве действия на элементы M соответствующее ему в силу гомоморфизма преобразование. В свою очередь, каждое G-множествр Al задает представление группы G преобразованиями.
Множество преобразований G-множества М, вызванных действиями элементов G на М, не обязано быть группой, изоморфной G. Оно, вообще говоря, является лишь гомоморфным образом группы G. Ядром гомоморфизма является множество всех элементов G, вызывающих тождественное преобразование М, т. е. пересечение стабилизаторов всех точек. Следовательно, пересечение стабилизаторов всех точек есть нормальная подгруппа группы G, и группа преобразований, вызванных элементами G на G-множе-стве Af, изоморфна факторгруппе G по пересечению стабилизаторов всех точек множества Al. Если пересечение стабилизаторов состоит только из 1, то представление группы G преобразованиями G-множества Af будет точным, т. е. группа G будет изоморфна группе вызванных ее элементами преобразований множества Af.
Если G-множество Af есть однородное пространство, то стабилизаторами его точек являются все подгруппы, сопряженные со стабилизатором И одной из точек. В этом случае группа преобразований Af, вызванных элементами группы G, изоморфна факторгруппе G по пересечению группы H со всеми сопряженными.
9. Автоморфизмы группы. Мы уже упоминали, что автоморфизмами группы называются изоморфные отображения группы G на себя. Среди автоморфизмов мы выделили внутренние автоморфизмы, вызываемые преобразованиями сопряжения посредством элементов группы.
