Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
280
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
{ГЛ. X
Матрицы с целыми элементами и с определителем ±1, т. е. целочисленно обратимые, носят название целочисленных унимоду-лярных матриц.
3. Унимодулярная замена образующих конечно порожденной абелевой группы.
Предложение 3. Пусть их, и2.....Un— образующие абелевой группы G и Af = (т,;)—целочисленная унимодулярная матрица. Тогда элементы vx, v2, vn, где
D1 =/H11U1+m12«2 + ¦•• +tnXnun, V2 = Wi21U1 + m22u2 + ... + m2nun,
Vn = тпХщ + mn2u2 + ... + mnnun,
тоже составляют систему образующих группы G.
Доказательство. Пусть AJ-1 = (A17). Положим
W1 =knvx + ki2v2 + ... +klnvn,
W2 = Zi21V1 + k22v2 + ... + k2nvn,
Wn=^1V1 + kn2v2+ ... +knnvn.
Тогда элементы w\, w2, Wn выражаются через ux, u2, un с матрицей коэффициентов Ai-1Af = E, так что wx = их, W2 = u2, ...
Wn = un. Таким образом, образующие ии и2, .... Un выражаются через W1, v2, Vn с целыми коэффициентами, следовательно, и любой элемент группы G выражается через vu v2,...,vn с целыми коэффициентами, т. е. V1, V2, Vn составляют систему образующих группы G.
4. Свободная конечно порожденная абелева группа. Абелева группа, имеющая образующие, не связанные соотношениями, называется свободной абелевой группой, а ее образующие, не связанные соотношениями, называются свободными образующими. Пусть «ьы2,"..., Ur — свободные образующие свободной абелевой группы F. Тогда любой элемент Z^F представляется через образующие
z = m\U\ + Ht2U2 -+-...-+- inrUr
однозначно, ибо иначе между образующими было бы нетривиальное соотношение. Поэтому G есть прямая суммы бесконечных циклических групп:
G = UiZ Ф «2Z® ... ®urZ.
Свободные образующие в свободной абелевой группе могут •быть выбраны разными способами, однако их число г не зависит от выбора образующих. Действительно, G/2G=;Z/2Z©Z/2Z® ... ... Ф 7/2Z (г прямых слагаемых, изоморфных циклическим группам второго порядка), и потому 2Г равно порядку группы G/2G,
КОНЕЧНО ПОРОЖДЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
281
так что 2Г, а вместе с ним и г, получает инвариантное истолкование, не зависящее от выбора системы свободных образующих.
5. Вспомогательные предложения.
Предложение 4. Пусть (аи а2, а*)— строка, составленная из целых чисел, и d — наибольший общий делитель чисел а\, а2, ak. Существует такая целочисленная унимодулярная матрица, что
(аи а2, ак)М = (d, 0, 0).
Доказательство. Применим индукцию по длине строки k. Базу для индукции дает случай k = 2. Пусть d — наибольший общий делитель чисел а\ и а2. Он допускает линейное представление d= aiu-f- a2v. Возьмем матрицу М=(" ^ , где Ьх =
=-^-, O2 = -~\- Матрица M унимодулярна, ибо ub{ + vb2=ua' "а2=
«=1. Далее, (аи а2)М = (ахи + a2v, ~аф2-\- a2bx) = (d, 0). Допустим теперь, что предложение доказано для строк длины k—1. Тогда найдется целочисленная унимодулярная матрица M1 порядка k— 1 такая, что
(а2, .... O11)Mi = (d2, 0.....0),
где d2 — наибольший общий делитель чисел а2, ак. Пусть теперь Al2=(J ^). Тогда
(ах, а2, ak)M2 = (аи d2, 0, 0).
Далее, наибольший общий делитель чисел 0\ и d2 равен d. Найдем целочисленную унимодулярную матрицу Mz второго порядка такую, что (а\, d2)M3 = (d, 0). Положим M4 = (^3 ^ M4 —
тоже целочисленная унимодулярная и (аь d2, 0, O)M4 = = (d, 0, 0). Таким образом, матрица M = M2M4, очевидно, целочисленная унимодулярная, дает требуемое:
(ah а2, ак)М = (d, 0, 0).
Предложение 5. Если числа а\, а2, ак в совокупности взаимно простые, то существует целочисленная унимодулярная матрица с первой строкой (а\, а2у ak).
Доказательство. В предположении взаимной простоты чисел аи а2, ak будет d=\, так что существует целочисленная унимодулярная матрица M такая, что (аи а2, ak)M = = (1, 0, .... 0). Тогда (1, 0, O)M-' = (аи а2, ak). Матрица M-' целочисленная унимодулярная, а последнее равенство показывает, что ее первая строка есть (а\, а2, а*).
6. Конечно порожденные абелевы группы без кручения. Абе-лева группа называется группой без кручения, если она не имеет элементов конечного порядка.
282
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
(ГЛ. X
Теорема 6. Конечно порожденная абелева группа G без кручения свободна, т. е. имеет свободную систему образующих.
Доказательство. Пусть U\, и2, Uk — некоторая система образующих группы G Если она свободна, то вопрос исчерпан. Если же не свободна, найдется соотношение
а\Щ + а2и2 + ... + akUk = 0.
Без нарушения общности коэффициенты можно считать взаимно простыми в совокупности, ибо если они не взаимно просты и их наибольший общий делитель d > 1, то
а( = da\, а2 = da'v ..., ак = da'k
и
d (Ci[U1 + а'2и2 + ... + a'kuk) = 0,
откуда
а\иу + а'2и2 + ... + акик = 0,
ибо G — группа без кручения. Числа же а[, а\, a'k взаимно просты.
Возьмем целочисленную унимодулярную матрицу M с первой строкой аи а2, а* и сделаем замену образующих посредством подстановки с этой матрицей:
V1=U1U1-J-U2U2+ ... +акик,
v2 = т21щ + Ui22U2 + ... + m2kuk,
Vk = пгк1щ + mk2u2 + ... + mkkuk.
