Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
138
уравнения порядка выше первого
[гл. 2
в окрестности точки х = X0 и р0(х0) ф О, то решения у равнения Po (X) У" + Pi (X) у' + р2 (X) у== 0 (2.91)
также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, следовательно, решения уравнения (2.91) можно искать в виде
у Zz= ?0-f ах (X — X0) -f а2 (X — X0)2 + ... + ап (х — x0f + ...
Теорема 2.10 (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд). Если уравнение (2.91) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но х = х0 является нулем конечного порядка s функции р0(х), нулем порядка s—1 или выше функции рх(х) (если s > 1) и нулем порядка не ниже ~s — 2 коэффициента р2(х) (если s > 2), то существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения (2.91) в виде суммы обобщенного степенного ряда
у = а0(х-х0)ь+ ах(х-х0)*+1+ ... -Ha4(X-X0)*+"+.... (2.92)
где k — некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным.
Второе линейно независимое с (2.92) решение, как правило, имеет тоже вид суммы обобщенного степенного ряда, но иногда может еще-содержать произведение обобщенного степенного ряда на 1п(х—х0).
Впрочем, в конкретных примерах можно обойтись без формулированных выше двух теорем, тем более, что эти теоремы в указанной формулировке все равно не устанавливают области сходимости рассматриваемых рядов. Чаще всего в конкретных задачах подбирают степенной или обобщенный степенной ряд, формально удовлетворяющий дифференциальному уравнению, т. е. при подстановке обращающий рассматриваемое уравнение (2.90) порядка п в тождество, если предполагать сходимость ряда и возможность почленного дифференцирования п раз. Получив формально решение в виде ряда, исследуют его на сходимость и на возможность почленного дифференцирования H раз. В той области, где ряд сходится и допускает я-кратное почленное дифференцирование, он не только формально удовлетворяет уравнению, но его сумма действительно является искомым решением.
Пример 1.
у" — ху = 0. (2.93)
Ищем решение в виде степенного ряда
у = 2 а„х«.
It-O
§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ . ПОМОЩИ РЯДОВ 139
Опираясь на теорему 2.9 или формально дифференцируя этот ряд почленно два раза и подставляя в уравнение (2.93) получим
OO OO
2 а„п (п — 1) хп~2 — х"2і апхП = 0.
я=2 H=O
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества, получим: а2 = 0, 3 • 2а3— а0 = 0, откуда а3 ~~^~?>
4 • За4 — а, = 0, откуда а4 = ; 5 ¦ 4а5 — а2 = 0, откуда а5 = -^^- ....
. .., п (я — 1) а„ — а„_з = 0, откуда а„ = a"~^ , ... Следовательно,
_ п__?о_
ази-1 - w. «з« - 2. з . 5 . 6 _ _ (3я _ !) з„ ¦
(п=1,2....).
"•<">+1 3-4-6-7...3/г(Зл-т-1)
а0 и Д) остаются произвольными. Итак,
Г л'3 X6 хзл 1
у = а41+2ТЗ + 2-3.5-6+ ••¦ +2.3-5-6...(Зл-1)3/г+ •¦•J +
+ а, + + ¦¦¦ +з,4,6./,3"з1(3„ + 1)+ •••]• (2-94)
Радиус сходимости этого степенного ряда равен бесконечности. Следовательно, сумма ряда (2.94) при любых значениях х является решением рассматриваемого уравнения. Пример 2.
х2у" + ху' -f- (X2 — л2) у = 0. (2.95)
Это уравнение называется уравнением Бесселя порядка п, хотя впервые оно встречается в работах Л. Эйлера и Д. Бернулли. К уравнению Бесселя сводятся многие задачи математической физики, поэтому мы исследуем его несколько подробнее.
По теореме 2.10 по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения Бесселя может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда
OO
у = 2 арх*+'.
P=O
Дифференцируя этот ряд два раза почленно и подставляя в уравнение (2.95) получим '
OO
х-' 2 ар (A + p)(k + p- l)xk+P- 2 -f
P=O
+ X ^1ap(k + p)xll+r'-1+(x2 — n2) 2v'tf=0'
140 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (ГЛ. 2
[(А + р)2-л2]ар+ар_2=-- 0.
Так как коэффициент а0 при низшей степени х можно считать отличным от нуля, то первое уравнение сводится к
k2 — л2 = 0, откуда A = ± л.
Для определенности будем пока считать k — тогда из второго уравне-
ния o1 [(л+1)2 — л2] = 0 получим: а, = 0 и, следовательно, все a2pJt , =- 0,
а„ аа
(л+ 2)2 —л2 22 (л + 1)'
а3 а2
*2р ¦
(л+ 4)2 —л2 " 22(л + 2) 2 24 (/г+1)(/г + 2)1-2 * 22P -р\(п + 1)(л + 2) ... (л + р)
При A = — л совершенно аналогично получаем
При А = л получаем решение
(—1)"*2"+"
ри0 22/>l(« + 1)(/1 + 2) ...(л + /») ' Этому решению можно придать более удобный вид, если выбрать произвольное постоянное аъ ^ ~уп?Тп+Л) ' ГДЄ ^ — гамма-функция Эйлера; напомним, что
Г (P) = j е-кхр-^йх при р > 0, Г (/> + 1) = (/>).
о
Тогда
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства, получаем
а0 [А2 — л2] = О, й, [(A+ I)2 — л2) = О, [(ft+ 2)2 — /г2] а5+ Ao= 0, [(A + З)2 — л2] а3 + о] = 0,
§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ 141
а при п, равном целому числу,
у= C1Jn (X)+ C2Yn(X),
где C1 и C2 — произвольные постоянные.
Функции Бесселя первого и второго рода изучены весьма детально И, в частности, составлены подробные таблицы их значений. Поэтому, если какая-нибудь задача сведена к функциям Бесселя, то ее можно считать
