Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
X
у'(X) = f К'х(х, s)f(s)ds,
к,
X
у" (X) = f Kx(X. s)f(s)ds,
Xn
X
yf-^(x)= jKl"'X)(x, s)f(s)ds,
X
У'" (X) = ( W(X. s)f(s)ds+f(x).
X0
(2.63)
Если частные решения соответствующего однородного уравнения
(Уі^У*). Ga —У к)..... Gk-i —У ь) (2-58>
линейно независимы, то порядок уравнения L(y) = f(x) может быть понижен до п—(k— 1). Очевидно, что другие разности уу—ур являются линейными комбинациями решений (2.58)
УI —У р= Gj У к) — Gp — У к) и, следовательно, не могут быть использованы для дальнейшего понижения порядка.
Укажем еще метод Коши нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения
L[y(x)]=f(x). (2.59)
В этом методе предполагается известным, зависящее от одного параметра, решение K(x,s) соответствующего однородного уравнения L[у (х)] = 0, удовлетворяющее условиям
К (s, S) = К' (S1 S) = ... = Kin~2> (S, S) — 0; (2.60)
s)=l. (2.61)
Нетрудно проверить, что в этом случае
122 . УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
Подставляя (2.62) и (2.63) в уравнение (2.59), получаем
X
J L [К (х, s)l / (S) ds + f (X) = f (х),
к,
так как К(х, s) является решением соответствующего однородного уравнения и L[K(x, s)] = 0.
Решение К(х, s) может быть выделено из общего решения
я
у = 2 с,У( (х) однородного уравнения, если выбрать произвольные
постоянные C1 так, чтобы удовлетворялись условия (2.60) и (2.61). Пример 4. Для уравнения
у" + а*у = /(х) (2.64)
общим решением является у = C1 cos ах -f- C2 sin ах, условия (2.60) и (2.61) приводят к следующим уравнениям:
C1 cos as -f- C2 sin as = 0, — ас, sin as -j- <*c2 cos as = 1.
Следовательно,
sin as _ cos as
C]~ a~~' C2_—a-
и искомое решение К (х, s) имеет вид
К (х, S) = — sin a (X — S). а
Решение уравнения (2.64), удовлетворяющее нулевым начальным условиям, согласно (2.62), представимо в виде
X
y(x) = -i- j' sin a (X — s) / (s) rfs.
При X0 = 0 это решение совпадает с полученным выше (см. стр. 120) другим методом решением того же уравнения.
Можно дать физическую интерпретацию функции К(х, s) и решению линейного уравнения с правой частью в форме (2.62). При этом нам будет удобнее независимое переменное обозначить буквой t.
Во многих задачах решение у (t) уравнения
Уш + Pi (t) У""1' + ... + ра (і) У = f (О (2.65)
описывает смещение некоторой системы, а функция f(t)—силу, действующую на эту систему, t — время.
Предположим вначале, что при t < s система находилась в состоянии покоя и ее смещение вызывается силой fe(t), отличной
§ S] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ 123
от нуля лишь в промежутке s < t < 5 -f- е, причем импульс этой силы равен 1:
s+e
f Д(т)Л=1.
s
Обозначим у (О решение уравнения
У"> + P1 U) у"»-11 + ... -+- Pn(Oy= f АО.
Легко проверяется существование предела у (() при е-»0, не зависящего от выбора функции / (t), в предположении, что она не меняет знака. Действительно,
Уе(0 = { KV. s)fe(s)ds.
to
Применяя теорему о среднем при t > s 4- є, получим
s+e
ye(t) = K(t. s + г*) j f t(i)dx = К (t, 54-є*),
s
где 0 < є* < є; следовательно,
Hm у (t) = K(t, s).
є->0
Поэтому функцию K(t, s) естественно назвать функцией влияния мгновенного импульса в момент t = s.
Разбивая промежуток (tQ, t) точками st (/ = 0, 1.....п) на т
равных частей длины As = представим функцию /(f) в (2.65)
в виде суммы функций fi (г), где fi(f) отлична от нуля лишь на 1-й промежутке s;_, < t < s1. на котором она совпадает с функцией f(t):
т
f(t) = 2 л «)¦
I=V
B силу принципа суперпозиции (стр. 114) решение уравнения (2.65) имеет вид
т
у H)=i. у id),
где yl (t) — решения уравнений
У"> 4- Px (t) У"- »>+----\-Pn(Oy= ft(f)
124
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
ггл. 2
с нулевыми начальными значениями. Если т достаточно велико, го решение у і (t) можно рассматривать как функцию влияния мгновенного импульса интенсивности /,(S^)As. Следовательно,
Переходя к пределу при т —>со, получим решение уравнения (2.65) с нулевыми начальными условиями в виде
показывающем, что влияние непрерывно действующей силы можно рассматривать как наложение (суперпозицию) влияний мгновенных импульсов.
§ 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера
При решении линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях без труда удается подобрать частные решения и тем самым свести задачу к интегрированию соответствующего однородного уравнения.
Пусть, например, правая часть является многочленом степени s, и следовательно, уравнение имеет вид
a0y'~>»+axy(»-v + ... +ап_у + апу =
= A0xs+ A1X«'1-+- ... +As, (2.66)
где все Uj и A1 — постоянные.
Если ап ф 0, то существует частное решение уравнения (2.66), имеющее тоже вид многочлена степени s. Действительно, подставляя
в уравнение (2.66) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в левой и правой частях, получаем для определения коэффициентов B1 всегда разрешимую, если апфО, систему линейных уравнений:
