Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 40

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 131 >> Следующая


т

ут= 2 K(t, st)f (S1)bs.

у = B0xs+ B1X«-'+ ... +Bs

апв0 = а0' в0 :

CinB1 +san_xB0

а.

'п

откуда определяется B1,

апВ2 +(S — \)an_xB,+s(s

I)O^2B0 = A2,

§ 6] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ.

125

a„Bs+ ... =А„

откуда определяется Bs.

Итак, если апфО, то существует частное решение, имеющее вид многочлена, степень которого равна степени многочлена, стоящего в правой части.

Предположим теперь, что ап = 0, причем для общности допустим, 4TOHen-1 = an-2= ... =а„_а+1=0, но оа_аФ0, т. е. A = O является а-кратным корнем характеристического уравнения, причем случай а=1 не исключается. При этом уравнение (2.66) принимает вид

аоУ(",+ аьУ("~1)+ ••• +ап-аУ(а) = A0X*+ A1X^1+ ... ¦+A3.

'(2.67)

Полагая y<a) = z, мы приходим к предыдущему случаю, и следовательно, существует частное решение уравнения (2.67), для которого

у» = В0х> + Вгх*~і+ ... +Bs,

а значит, у является многочленом степени s-j-a, причем, члены, начиная со степени a — 1 и ниже, у этого многочлена будут иметь произвольные постоянные коэффициенты, которые могут быть, в частности, выбраны равными нулю. Тогда частное решение примет следующий вид:

y = xa(B0x^ + ?1x^i + ... +Bs).

Пример 1.

у" + у = X2 + х. (2.68)

Частное решение имеет вид

у = B0X2+ B1X+ B2.

Подставляя в уравнение (2.68) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем

B0= 1, B1 = I, B2 = —2, у = х2 + х — 2.

Общее решение

у = C1 cos X + C2 sin X + Xі + X — 2.

Пример 2.

у" + у1 = х — 2.

Частное решение ищем в виде

у== х(В0х + B1).

Подставляя в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в левой и правой частях полученного тождества, находим

откуда определяется B2,

Т26 УРАВНЕНИЯ порядка выше первого [гл. 2

Общее решение

у = с, -4- с,е~л + х [L х — 3j.

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение вида

а0у<л> + ajyt"-1' -+- ... + а„у = ерх (A0X8 + AxX8-1 + ... + As),

(2.69)

где все Uj и Лг — постоянные. Как было указано выше (стр. 109), замена переменных у = epxz преобразует уравнение (2.69) к виду

eP*[b0zM +O1ZC-1)+ ... +bnz) = eP*(A0xs+ A1X*-1+ ...+ As),

или

V(n) + + . . . + bnz = A0xs +- AxX8' 1 + . .. + A,; (2.70)

где все bj — постоянные.

Частное решение уравнения (2.70), если Ьпф0, имеет вид

z = В0х" + B1X5'1 + ... +Bs,

а значит, частное решение уравнения (2.69)

у = єрх(В0х8 + Вхх8-1+...+Bs).

Условие Ьпф0 означает, что k==0 не является корнем характеристического уравнения

b0kn + C)1F-1 + ... + Ая = 0. (2.71)

а следовательно, k = p не является корнем характеристического уравнения

a0kn + axkn~1 + . .. -+- a„ = 0, (2.72)

так как корни этих характеристических уравнений связаны зависимостью k = k+p (см. стр. 109).

Если же k = 0 является корнем характеристического уравнения (2.71) кратности а, другими словами, k = р является корнем характеристического уравнения (2.72) той же кратности а, то частные решения уравнений (2.70) и (2.69)<имеют соответственно вид

Z=--х^ (B0X' + BxX*-1 + ...+ Bs), у z= хаерх (B0xs + BxX8'1 + ... + Bs).

Итак, если правая часть линейного дифференциального у равнения с постоянными коэффициентами имеет вид

ерх (A0xs + A1X8-1 +...+ AJ.

§ 61 неоднородные уравнения с постоянными коэф. 127

то, если р не является корнем характеристического уравнения, частное решение надо алкать в таком же виде:

у = єр* (B0xs + Bxxs~l -4- ... 4- Bs).

Если же р является корнем характеристического уравнения кратности а {этот случай называется особым или резонансным), то частное решение надо искать в виде

у = хаеР* (B0xs 4 Bxxs~l 4-...4 Bs).

Пример 3.

у" + 9у = еъх. Частное решение надо искать в виде

у = Веьх

Пример 4.

у"+ у= eiX (х — 2). Частное решение надо искать в виде

у = езх (B0X + Bx).

Пример 5.

у" —у = ех(х2 — 1).

Частное решение надо искать в виде

у ¦= хех (B0X2 + B1X 4 B2),

так как k — 1 является простым корнем характеристического уравнения. Пример 6.

у"' 4 Зу" 4 Зу' 4- у = е~х (X — 5).

Частное решение надо искать в виде

у = х*е-х(В0х+ Bx).

гак как k = —1 является трехкратным корнем характеристического уравнения

Заметим, что наши рассуждения остаются справедливыми и при комплексном р, поэтому если правая часть линейного дифференциального уравнения имеет вил

et>* [P s (X) cos qx 4 Qs (X) sin ax], (2.73)

где один из многочленов Ps(x) или Qs(x) имеет степень s, а другой — степень не выше чем S, то, преобразуя тригонометрические функции по формулам Эйлера к показательному виду, получим в правой части

elp+<H)xRs(X) + e<P-9V*Ts(x), (2.74)

где R-s (х) и Ts (х) — многочлены степени S.

Для каждого слагаемого правой части можно уже применить указанное выше правило, а именно, если p±qi не являются корнями

128 уравнения порядка выше первого [гл. 2

характеристического уравнения, то частное решение можно искать в таком же виде, как и правая часть (2.74); если же p+qi являются корнями характеристического уравнения кратности а, то частное решение приобретает еще множитель ха.
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed