Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
т
ут= 2 K(t, st)f (S1)bs.
у = B0xs+ B1X«-'+ ... +Bs
апв0 = а0' в0 :
CinB1 +san_xB0
а.
'п
откуда определяется B1,
апВ2 +(S — \)an_xB,+s(s
I)O^2B0 = A2,
§ 6] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ.
125
a„Bs+ ... =А„
откуда определяется Bs.
Итак, если апфО, то существует частное решение, имеющее вид многочлена, степень которого равна степени многочлена, стоящего в правой части.
Предположим теперь, что ап = 0, причем для общности допустим, 4TOHen-1 = an-2= ... =а„_а+1=0, но оа_аФ0, т. е. A = O является а-кратным корнем характеристического уравнения, причем случай а=1 не исключается. При этом уравнение (2.66) принимает вид
аоУ(",+ аьУ("~1)+ ••• +ап-аУ(а) = A0X*+ A1X^1+ ... ¦+A3.
'(2.67)
Полагая y<a) = z, мы приходим к предыдущему случаю, и следовательно, существует частное решение уравнения (2.67), для которого
у» = В0х> + Вгх*~і+ ... +Bs,
а значит, у является многочленом степени s-j-a, причем, члены, начиная со степени a — 1 и ниже, у этого многочлена будут иметь произвольные постоянные коэффициенты, которые могут быть, в частности, выбраны равными нулю. Тогда частное решение примет следующий вид:
y = xa(B0x^ + ?1x^i + ... +Bs).
Пример 1.
у" + у = X2 + х. (2.68)
Частное решение имеет вид
у = B0X2+ B1X+ B2.
Подставляя в уравнение (2.68) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
B0= 1, B1 = I, B2 = —2, у = х2 + х — 2.
Общее решение
у = C1 cos X + C2 sin X + Xі + X — 2.
Пример 2.
у" + у1 = х — 2.
Частное решение ищем в виде
у== х(В0х + B1).
Подставляя в уравнение и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях X в левой и правой частях полученного тождества, находим
откуда определяется B2,
Т26 УРАВНЕНИЯ порядка выше первого [гл. 2
Общее решение
у = с, -4- с,е~л + х [L х — 3j.
Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение вида
а0у<л> + ajyt"-1' -+- ... + а„у = ерх (A0X8 + AxX8-1 + ... + As),
(2.69)
где все Uj и Лг — постоянные. Как было указано выше (стр. 109), замена переменных у = epxz преобразует уравнение (2.69) к виду
eP*[b0zM +O1ZC-1)+ ... +bnz) = eP*(A0xs+ A1X*-1+ ...+ As),
или
V(n) + + . . . + bnz = A0xs +- AxX8' 1 + . .. + A,; (2.70)
где все bj — постоянные.
Частное решение уравнения (2.70), если Ьпф0, имеет вид
z = В0х" + B1X5'1 + ... +Bs,
а значит, частное решение уравнения (2.69)
у = єрх(В0х8 + Вхх8-1+...+Bs).
Условие Ьпф0 означает, что k==0 не является корнем характеристического уравнения
b0kn + C)1F-1 + ... + Ая = 0. (2.71)
а следовательно, k = p не является корнем характеристического уравнения
a0kn + axkn~1 + . .. -+- a„ = 0, (2.72)
так как корни этих характеристических уравнений связаны зависимостью k = k+p (см. стр. 109).
Если же k = 0 является корнем характеристического уравнения (2.71) кратности а, другими словами, k = р является корнем характеристического уравнения (2.72) той же кратности а, то частные решения уравнений (2.70) и (2.69)<имеют соответственно вид
Z=--х^ (B0X' + BxX*-1 + ...+ Bs), у z= хаерх (B0xs + BxX8'1 + ... + Bs).
Итак, если правая часть линейного дифференциального у равнения с постоянными коэффициентами имеет вид
ерх (A0xs + A1X8-1 +...+ AJ.
§ 61 неоднородные уравнения с постоянными коэф. 127
то, если р не является корнем характеристического уравнения, частное решение надо алкать в таком же виде:
у = єр* (B0xs + Bxxs~l -4- ... 4- Bs).
Если же р является корнем характеристического уравнения кратности а {этот случай называется особым или резонансным), то частное решение надо искать в виде
у = хаеР* (B0xs 4 Bxxs~l 4-...4 Bs).
Пример 3.
у" + 9у = еъх. Частное решение надо искать в виде
у = Веьх
Пример 4.
у"+ у= eiX (х — 2). Частное решение надо искать в виде
у = езх (B0X + Bx).
Пример 5.
у" —у = ех(х2 — 1).
Частное решение надо искать в виде
у ¦= хех (B0X2 + B1X 4 B2),
так как k — 1 является простым корнем характеристического уравнения. Пример 6.
у"' 4 Зу" 4 Зу' 4- у = е~х (X — 5).
Частное решение надо искать в виде
у = х*е-х(В0х+ Bx).
гак как k = —1 является трехкратным корнем характеристического уравнения
Заметим, что наши рассуждения остаются справедливыми и при комплексном р, поэтому если правая часть линейного дифференциального уравнения имеет вил
et>* [P s (X) cos qx 4 Qs (X) sin ax], (2.73)
где один из многочленов Ps(x) или Qs(x) имеет степень s, а другой — степень не выше чем S, то, преобразуя тригонометрические функции по формулам Эйлера к показательному виду, получим в правой части
elp+<H)xRs(X) + e<P-9V*Ts(x), (2.74)
где R-s (х) и Ts (х) — многочлены степени S.
Для каждого слагаемого правой части можно уже применить указанное выше правило, а именно, если p±qi не являются корнями
128 уравнения порядка выше первого [гл. 2
характеристического уравнения, то частное решение можно искать в таком же виде, как и правая часть (2.74); если же p+qi являются корнями характеристического уравнения кратности а, то частное решение приобретает еще множитель ха.