Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
144 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
Периодическое решение ищем в виде
со
А
x(t) = 4j- + ^(Akcoskt + Bksmkt). (2.102)
Дифференцируя ряд (2.102) почленно два раза и подставляя в уравнение (2.100), получим
— V k- (Ak cos kt + Bk sin kt) -j-
+ a2
42-+ У (4S cos kt +B11SIn kt)
ft=i
откуда, если а не равно целому числу, определяем коэффициенты ряда (2.102):
a2A0 _ Оо_
2
2
А — ^
(a2 — k2)Ak = ak, (а2-к2)Вь=Ь,,
Bh
а2 — к2
(2.103)
Пусть, например, требуется найти периодические решения уравнения
X +-O1X = /(/). (2.100)
Для существования периодического решения необходимо предположить, что / является периодической функцией. Без существенного ограничения общности можно считать, что f{t) — периодическая функция периода 2л, так как если бы функция f(t) имела период Т,
то после преобразования независимого переменного tx = ~-1 правая часть стала бы функцией периода 2я по новому независимому переменному tv
Предположим, что функция /((), кроме того, непрерывна и разложима в ряд Фурье:
OO
/ (О = -у + S ^ak cos kt + h sin kt). (2.101)
§ 7] интегрирование уравнений при помощи рядов 145
д0 у ak cos M -f bk sin kt ^ (2.104)
Очевидно, что ряд (2.104) сходится и допускает двукратное почленное дифференцирование, так как ряд (2.101), в силу непрерывности функции /(г), сходится равномерно, а коэффициенты ряда
к2 (ak cos & + bk sin ?Q
д2-?2 > (. • )
к = 1
составленного из вторых производных от членов ряда (2.104), отличаются от коэффициентов ak и bk ряда (2.101) лишь не зависящим
к2
ОТ t, МОНОТОННО СТреМЯЩИМСЯ К 1 При k—>CO МНОЖИТелеМ--^-JT-
Следовательно, ряд (2.105) сходится равномерно, а значит, ряд (2.104) можно было дифференцировать почленно два раза. Итак, ряд (2.104) не только формально удовлетворяет уравнению (2.100), но его сумма x(t) существует и является периодическим решением уравнения (2.100).
Если а мало отличается от целого числа я и апф 0 или Ь„ ф 0, то наступает явление резонанса, заключающееся в резком возрастании при приближении а к п хотя бы одного из коэффициентов
А — " В
Если же а = п и хотя бы один из коэффициентов ап или Ьп не равен нулю, то периодических решений не существует, так как резонирующим слагаемым
ап cos nt -4- A sin nt
в правой части уравнения (2.100), как указано на стр. 128, согласно принципу суперпозиции соответствует в общем решении уравнения (2.100) непериодическое слагаемое вида
t (An cos nt Bn sin nt),
тогда как остальные слагаемые в общем решении уравнения будут периодическими функциями. Следовательно, при а = п периодическое решение уравнения (2.100) существует лишь в случае отсутствия в правой части резонирующих членов ап cos ntA- bn sin nt, т. е. в случае
2л 2л
ап = - f f (t)cos nt dt = 0, bn = - I f (t) sinnt dt = 0. (2.106)
71 J Tl р/
І0 Л. Э. Эльсгольц
Следовательно, уравнению (2.100) формально удовлетворяет ряд
146 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
Ищем решение в виде ряда
А
х (0 = -f- + 2 (Ak cos kt + Bt sin U) и, определяя коэффициенты Ak и B)1 по формулам (91), получаем
oo
... _ Y sin kt X(t)~ Zi k<(2 — k2) *
Пример 7. Определить периодическое решение уравнения X -f- 4х *= sin2 ?
Так как условия существования периодического решения (2.106) не удовлетворяются:
2л
J sin2 / sin 2t dt = О,
о
но
2я
J sin21 cos 2/ rf/ О,
то периодического решения не существует.
Пример 8. Определить периодическое решение уравнения
¦* + х = 2
cos
/?2 •
ft = 2
В правой'части отсутствуют резонирующие члены ах cos / -f- sin t. Следовательно, периодическое решение существует и определяется по формулам (2.103):
со ? = 2
где C1 и C2 — произвольные постоянные.
В последнем случае, т. е. при а = я, ап=Ьп = 0, периодическое решение уравнения (2.100) существует, причем при k ф п коэффициенты определяются по формулам (2.103), а коэффициенты An и Bn остаются произвольными, так как An cos nt + SnSIn nt является при произвольных An и Bn решением соответствующего однородного •уравнения.
Пример 6. Определить периодическое решение уравнения
МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
14?
§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний
В предыдущем параграфе был указан метод нахождения периодических решений линейных уравнений вида
х -4- а2X = f V)-
Во многих практических задачах возникает вопрос о нахождении периодического решения аналогичного уравнения, но имеющего в правой части малое нелинейное слагаемое:
X -f- O2X = / (0 -4- \xF (0 х, X, fx), (2.107)
где ц—малый параметр.
Если отбросить слагаемое nF(t, х, х, т. е. считать в уравнении (2.107) ji = 0, то получим линейное уравнение
X 4- а2х = f (О.
называемое порождающим для уравнения (2.107).
Одним из наиболее эффективных методов нахождения периодических решений уравнения нелинейных колебаний с малой нелинейностью (2.107) является разработанный А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым метод разложения решения в ряд по степеням малого параметра р., широко применяемый в настоящее время при решении самых разнообразных задач. •