Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 46

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 131 >> Следующая


144 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2

Периодическое решение ищем в виде

со

А

x(t) = 4j- + ^(Akcoskt + Bksmkt). (2.102)

Дифференцируя ряд (2.102) почленно два раза и подставляя в уравнение (2.100), получим

— V k- (Ak cos kt + Bk sin kt) -j-

+ a2

42-+ У (4S cos kt +B11SIn kt)

ft=i

откуда, если а не равно целому числу, определяем коэффициенты ряда (2.102):

a2A0 _ Оо_

2

2

А — ^

(a2 — k2)Ak = ak, (а2-к2)Вь=Ь,,

Bh

а2 — к2

(2.103)

Пусть, например, требуется найти периодические решения уравнения

X +-O1X = /(/). (2.100)

Для существования периодического решения необходимо предположить, что / является периодической функцией. Без существенного ограничения общности можно считать, что f{t) — периодическая функция периода 2л, так как если бы функция f(t) имела период Т,

то после преобразования независимого переменного tx = ~-1 правая часть стала бы функцией периода 2я по новому независимому переменному tv

Предположим, что функция /((), кроме того, непрерывна и разложима в ряд Фурье:

OO

/ (О = -у + S ^ak cos kt + h sin kt). (2.101)

§ 7] интегрирование уравнений при помощи рядов 145

д0 у ak cos M -f bk sin kt ^ (2.104)

Очевидно, что ряд (2.104) сходится и допускает двукратное почленное дифференцирование, так как ряд (2.101), в силу непрерывности функции /(г), сходится равномерно, а коэффициенты ряда

к2 (ak cos & + bk sin ?Q

д2-?2 > (. • )

к = 1

составленного из вторых производных от членов ряда (2.104), отличаются от коэффициентов ak и bk ряда (2.101) лишь не зависящим

к2

ОТ t, МОНОТОННО СТреМЯЩИМСЯ К 1 При k—>CO МНОЖИТелеМ--^-JT-

Следовательно, ряд (2.105) сходится равномерно, а значит, ряд (2.104) можно было дифференцировать почленно два раза. Итак, ряд (2.104) не только формально удовлетворяет уравнению (2.100), но его сумма x(t) существует и является периодическим решением уравнения (2.100).

Если а мало отличается от целого числа я и апф 0 или Ь„ ф 0, то наступает явление резонанса, заключающееся в резком возрастании при приближении а к п хотя бы одного из коэффициентов

А — " В

Если же а = п и хотя бы один из коэффициентов ап или Ьп не равен нулю, то периодических решений не существует, так как резонирующим слагаемым

ап cos nt -4- A sin nt

в правой части уравнения (2.100), как указано на стр. 128, согласно принципу суперпозиции соответствует в общем решении уравнения (2.100) непериодическое слагаемое вида

t (An cos nt Bn sin nt),

тогда как остальные слагаемые в общем решении уравнения будут периодическими функциями. Следовательно, при а = п периодическое решение уравнения (2.100) существует лишь в случае отсутствия в правой части резонирующих членов ап cos ntA- bn sin nt, т. е. в случае

2л 2л

ап = - f f (t)cos nt dt = 0, bn = - I f (t) sinnt dt = 0. (2.106)

71 J Tl р/

І0 Л. Э. Эльсгольц

Следовательно, уравнению (2.100) формально удовлетворяет ряд

146 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2

Ищем решение в виде ряда

А

х (0 = -f- + 2 (Ak cos kt + Bt sin U) и, определяя коэффициенты Ak и B)1 по формулам (91), получаем

oo

... _ Y sin kt X(t)~ Zi k<(2 — k2) *

Пример 7. Определить периодическое решение уравнения X -f- 4х *= sin2 ?

Так как условия существования периодического решения (2.106) не удовлетворяются:



J sin2 / sin 2t dt = О,

о

но



J sin21 cos 2/ rf/ О,

то периодического решения не существует.

Пример 8. Определить периодическое решение уравнения

¦* + х = 2

cos

/?2 •

ft = 2

В правой'части отсутствуют резонирующие члены ах cos / -f- sin t. Следовательно, периодическое решение существует и определяется по формулам (2.103):

со ? = 2

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

В последнем случае, т. е. при а = я, ап=Ьп = 0, периодическое решение уравнения (2.100) существует, причем при k ф п коэффициенты определяются по формулам (2.103), а коэффициенты An и Bn остаются произвольными, так как An cos nt + SnSIn nt является при произвольных An и Bn решением соответствующего однородного •уравнения.

Пример 6. Определить периодическое решение уравнения

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА

14?

§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний

В предыдущем параграфе был указан метод нахождения периодических решений линейных уравнений вида

х -4- а2X = f V)-

Во многих практических задачах возникает вопрос о нахождении периодического решения аналогичного уравнения, но имеющего в правой части малое нелинейное слагаемое:

X -f- O2X = / (0 -4- \xF (0 х, X, fx), (2.107)

где ц—малый параметр.

Если отбросить слагаемое nF(t, х, х, т. е. считать в уравнении (2.107) ji = 0, то получим линейное уравнение

X 4- а2х = f (О.

называемое порождающим для уравнения (2.107).

Одним из наиболее эффективных методов нахождения периодических решений уравнения нелинейных колебаний с малой нелинейностью (2.107) является разработанный А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым метод разложения решения в ряд по степеням малого параметра р., широко применяемый в настоящее время при решении самых разнообразных задач. •
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed