Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
1 ч
Произведением двух операторов F1 (D) • F2 (D) называется оператор, действие которого на некоторую достаточное число раз дифференцируемую функцию f (х) определяется равенством
F1 (D) ¦ F2 (D) f (х) = F1 (D) [F2 (D) f (х)],
т. е. на функцию /(х) действует сначала правый множитель, а затем на результат действия правого множителя на функцию f (х) действует левый множитель.
Исходя из этого определения, нетрудно обнаружить, что правило умножения операторных многочленов не отличается от правила умножения обычных (не операторных) многочленов. Действительно,
п щ п IfI
Ъ an_pD S Ь^р1 =ЪЪ а^*-,»"*"- (2.77)
r=u ,1=0 р=о ч=о
так как
п m
^^-pDP^bm_qD"f(x) =
р=0 q = 0
". = ї"п-рОР
P = O
132 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (ГЛ. 2
Следовательно,
Можно было бы считать, что f ^ / (х) является решением уравнения (2.78), определяемым какими-нибудь конкретными, например нулевыми, начальными условиями, однако для наших целей удобнее
считать, что р~^щ f (х) является одним из решений, все равно каким,
уравнения (2.78) и, следовательно, действие оператора p^pj на не*
которую функцию /(х) определено лишь с точностью до слагаемого, равного решению соответствующего однородного уравнения.
При таком понимании действия оператора jfJdj °УДет справедливым равенство
ущ IF (D)/(x)]=f (X), (2.80)
так как / (х), очевидно, является решением уравнения
F (D) у = F (D) / (х).
Произведение операторов Ф(D) на -pjpj определяется равенством
Фф)^/(х) = Фф)[^/(х)].
Аналогично
-р+щ Ф (D) / (X) = у^щ [Ф (D) / (X)].
Поэтому в формулах (2.79) и (2.80) скобки можно опустить. Заметим еще, что
-1,./(X) = J J ... Jf(X)UX",
так как —/(х) является по определению оператора g i ^ реше-
Dp j ч„, г ..... ,,—г- р^
ниєм уравнения Dpy=/(x).
Проверим следующие свойства оператора ^ ^ ;
где k — постоянный множитель, так как
F (D) к J1I5J f(x) = kF (D) уіщ f (X) = kf (х).
2) Тчо) ? = 'FW) • если 77 (A) ф и-
§ 6] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ с ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ. 133
Действительно, -р-щ является решением уравнения F (U)y = екх, так как по формуле 1) стр. 130
r(U)F(k)-~ F(k) =е • 1 sin ax „ . „Л , -
3) tw)sinax = T(^2T' если F(—a^°-
sin ClX
Действительно, -=-.-аг является решением уравнения F (D2) у =
= sin ах, так как по формуле 2) стр. 130
F (D2) sin ах — р і— ai\ Sjn ax = Sin ах
4 'F (— аг) F (— а2) '
1 cos ах _ . .,, „
4) (?)2) cos ах = ^(,^) ¦ если ^(— о-) 0,
так как по формуле 3) стр. 130
F (D2) -p^jzr^Y = р{1_ Д2) ^ (~ ?2)cos ax = c°s
5) 7^^1*) = ^7(5Т*Г,'(*)-
Действительно, ekx F(QJ1 ^ v (x) является решением уравнения F (D) у = e"xv (х), так как по формуле 4) стр. 130
F (D>е*Х F(D + k) V {Х) = екХр (D + k) F(D + k) v(x)==ekxv (x).
6) -рщ If і (X) + h (*)] = щ /і (*) + -рщ /2 (x).
Это равенство является следствием принципа суперпозиции (стр. 114).
7) P1 (D) ¦F2(D)J {-Х) ^ F1 (D) F1(D)J (х)' т. е.
^т^Ь^тН (2-81)
является решением уравнения
F1(D) F2(D)?= f(x). (2.82)
Действительно, подставляя (2.81) в (2.82), получим
F2 (D) Fx (D) -р^щі-р-щ f(x)]= F2 (D) / (х) = /(х).
134 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
J D3 —1 /3—1 14-і ~ 2 —
1 і
= —2" (cos X 4- sin x) 4- — (cos X — sin x)
* cos x_sin x
Мнимая часть решения --- уравнения (2.83) является решением
уравнения (2.83).
7) У" 4" У = cos х, (D2 4-1) у = cos х, у = д2^_} cos х.
Формула 3) стр. 133 неприменима, так как F(—а2) = 0, поэтому опять вместо заданного уравнения рассматриваем уравнение
У" + У — е1Х или у" 4- у = cos X 4-' sin х
Приведем несколько примеров нахождения частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами операторным методом:
1) у"_|-4у = е-г, или (D2 -(- 4) у = вх, откуда
_ 1 - *_<J_ У — d2 4-4 Є' ~ 5 -
2) yiV у = 2 cos Зх, или (D4 + 1) у = 2 cos Зх,
I00 2 cos Зх 1 У = DH=T 08 3-*= (-9)2 + 1 =1TC0S Ъх-
3) у" ц- 9у = 5 sin х, (D2 + 9) у = 5 sin х,
1 , 5 sin x 5 .
У = 75мГ9 531П'Ї = ^ТТ9 =Tsln^
4) у" _ 4/ + 4у = хЧ*. (D - 2)2 у = хУ*
у= (7J^2Fe * =' WX =Є 12-
5) /" _ з/-f. з/ _ у = (d _ і)3 у =
1 х
У ~ (D-Xf Є
F (k") = 0, поэтому вместо второй формулы применяем формулу 5) (стр. 132—133), рассматривая е* как произведение е* ¦ 1:
1 1 xі
У = (о — 1)3 е* '1 = е* "d3"1 = е* Tf-
6) у'" — у = sinx,
(d3 —1)у =-sinx. (2.83)
у = г)з^_ \ sin Так как оператор содержит нечетные степени d, то воспользоваться формулой 4) нельзя. Поэтому вместо исходного уравнения рассмотрим уравнение (d3—\)y — eix, или
(d3— 1) у = cos x 4-г sinx. (2.84)
Мнимая часть решения уравнения (2.84) будет решением исходного уравнения (см. стр. 115):
41__і eix elx _ —^ elx^ _ (— 1 4- і) (cos X + / sin x) _
§ 6] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ. 135
и берем действительную часть его решения
?ІІ _L і _ _ X (COS X + < sin X)
