Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Характеристическое уравнение к* -\- 2к'г -)- 1 = 0 или (A2 -f- I)2 = 0 имеет двукратные корни ± і. Следовательно, общее решение имеет вид
у = (С, 4- C2X) COS X -f- (C3 -f- C4X) sin X.
2. Уравнения Эйлера. Уравнения вида
а0хпу^+¦ а^х"'^^'^ + ¦•• -+-«„_!*/-г-в„У = 0. (2.44)
где все at—постоянные, называются уравнениями Эйлера. Уравнение Эйлера заменой независимого переменного х — е'*) преобра-
*) Или X = — в', если л < о, в дальнейшем для определенности будем считать X > 0.
§ 4J однородные уравнения с постоянными коэффициентами [ц
зуется в линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.
Действительно, как указано на стр. 93, линейность и однородность уравнения при преобразовании независимого переменного сохраняются, а коэффициенты становятся постоянными, потому что
dy dy t dx ~ dt '
JQL — p-vIJLL _ ?l\
dt' \ dt' dt j'
где все ?, — постоянные, и при подстановке в уравнение (2.44) множители е~ш сокращаются с множителями х" = еы.
Справедливость равенства (2.45) легко может быть доказана методом индукции. Действительно, допустив, что равенство (2.45) справедливо, и продифференцировав его еще раз по х, докажем справед-
+ 'у
ливость равенства :2.45) и для ¦
dx'
d""y =e-<*+l»t* d'2y » diy ' * ° d" + ly'
и dу +R d*y 4- +R d + y\
dxk *1 v dP 1 dt' " dtk
dy . d2y , rf*+'y\
где все Yi — постоянные.
Итак, справедливость формулы (2.45) доказана, и следовательно, линейно входящие в уравнение Эйлера
п
ft=0
с постоянными коэффициентами произведения
* ^-1' rf/ 4 ?? л» + +h dt"
линейно (с постоянными коэффициентами) выражаются через производные функции у по новой независимой переменной (¦ Отсюда следует, что преобразованное уравнение будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами
И2 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО ГГЛ. 2
х*У" + ту ху' — у = и.
5 1
Ищем решение в виде у = X*; k(k — 1) + -^^-1=0, откуда A1 =-^-,
ft2 =— 2. Следовательно, общее решение при х>0 имеет вид
і
у = C1X2 + C2X-2.
Пример 8.
х2у" — ху' + у = 0.
Ищем решение в виде у = X*; k(k — 1) — ? + 1=0, или (k — I)2 = 0, ki, 2 = 1. Следовательно, общее решение при х>0 будет
у = (C1 + с2 In X) х.
Пример 9.
Х2у" + ху' + у = 0.
Вместо того чтобы преобразовывать уравнение Эйлера в линейное уравнение с постоянными коэффициентами, частные решения которого имеют виду = е , можно сразу искать решения исходного уравнения в виде у = хк, так как
ekt = xk.
Получающееся при этом после сокращения на хк уравнение auk(k— 1) ... (k — я-f 1)-(- axk(k — 1) ... (k — п +•2)-(- ...
... +а„ = 0 (2.47)
для определения k должно совпадать с характеристическим уравнением для преобразованного уравнения (2.46). Следовательно, корням ki уравнения (2.47) кратности а, соответствуют решения
Ud і к,I .2 ft,t /0(,-1 k.t
преобразованного уравнения или
хЧ х*<1пх, хк'\пх.....хкі In^-1X
исходного уравнения, а комплексным сопряженным корням р ± gl уравнения (2.47) кратности а соответствуют решения
eptcosqt, tept cos qt.....ta~le'A cos qt,
ept sin qt, tepi sin qt, .... ta~1epi sin qt преобразованного уравнения или
xp cos (q In x), xp In X cos (q In x).....xp 1па_1 x cos (q In x),
xp sin (q In x), xp In X sin (?7 In x).....X7Mn0-1XSiIi(^InX)
исходного уравнения Эйлера. Пример 7.
§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЗ
Ищем решение в виде у = xk; k(k— 1)-+-k-j- 1 = 0, откуда klti=±l. Следовательно, общее решение при х > 0 имеет вид
у = C1 cos In X + с2 sin In X.
Уравнения вида
а0(ах + b)ny(ll) + ?i (ах + b)n'1 y(n'l]'-f- ...
... +ая_,(с* + й)/4-аяУ = 0 (2.48)
также называются уравнениями Эйлера и сводятся к уравнению (2.44) заменой независимого переменного ax-\-b = xv Следовательно, частные решения этого уравнения можно искать в виде у = (ах-\~Ь)к или преобразовать уравнение (2.48) к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами заменой переменных ах~\-Ь = е' (или ах -\-Ь = — е', если ах-)-?<0).
§ б. Линейные неоднородные уравнения
Линейное неоднородное уравнение имеет вид
ао(*)У(в)Ч-ві(*)У(в-1)Ч- ••• 4-о„(х)у=ф(х).
Если O0 (х) ф О на рассматриваемом интервале изменения х, то после деления на о0(х) получим
У™+Pi(X) У""1'+ ... +/>„(*) У =/(*)¦ (2.49)
Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, кратко запишем в виде
My] =/(*)¦
Если при a 4^. X ¦4^b в уравнении (2.49) все коэффициенты pt(x) и правая часть f (х) непрерывны, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям
У(.)(х0) = у\к> (k = О, 1.....«—1),
где у<*>— любые действительные числа, a X0 — любая точка интервала о < X < Ь.
Действительно, правая часть уравнения
у<»> = —P1(X) у<»-1> —р2 (я) у<»-«— ... - рп(х) у + /(X) (2.49,)
в окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности:
1) правая часть непрерывна по всем аргументам;
2) имеет ограниченные частные производные по всем у(*>
