Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
~~ D — i 21 21 D 2i ~ 21
Взяв действительную часть найденного решения вспомогательного уравне-X sin X
ния --—> получим решение исходного уравнения
8)yiv_y = e*. ф*-1)у = ех, у = =
1 1 г' - 1 gX ^ 1 с* 1 1 - хе"
~ D — \ (D + I)(D2 4-1) D-I 4 4 е D 4"
Выясним еще, как действует оператор ]?т^у на многочлен Pp(X) = A0XP + A1XP-I+ ... +Лр> Формально разделим 1 на многочлен
F (D) = an +Un^D+ ... +a0Dn, апФ0.
расположенный по возрастающим степеням D, по правилу деления обычных (не операторных) многочленов. Процесс деления прекратим тогда, когда в частном получим операторный многочлен степени р:
b0 + b,D + ... + bpD" = Qp(D).
При этом в остатке окажется многочлен
R (D) = cp+lDp+l + cp+2Dp+2 + ...+ cp+nDp+\
содержащий оператор D в степенях не ниже р+1. В силу зависимости между делимым, делителем, частным и остатком получим
F (D)Qp(D)+R (D)-I. (2.85)
Это тождество справедливо для обычных (не операторных) многочленов, но так как правила сложения и умножения операторных многочленов не отличаются от правил сложения и умножения обычных многочленов, то тождество справедливо и для операторных многочленов. Действуя правой и левой частями тождества (2.85) на многочлен А0хР + АххР~х + ... + Ар, получим
[F (D)Qp(D) + R (D)](A0XP + A1XP-* + ... +Лр)==
= A0XP+A1XP-I+ ... +Ар
или, принимая во внимание, что
R(D)(A0XP + A1XP-I+- ... -Mp) = O1
136 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
_ „їх
так как R(D) содержит D в степенях не ниже /7-+1. будем иметь
F (D)[Qn(D)(A0xp+A1xp'1+ ... +AJ]=s
= А0хр + Axxp-*+ ...
т. е. Qp(D)(А0хР + АххР~х + ... + Ap) является решением уравнения
F (D) у = А0хр + Axxp-" + ... + Ар.
Итак,
{A0XP+ A1XP-'+ ... +Ар) =
= Qp(D)(A0xP + АххР-'+ ... +An).
Например:
9) У"+ у = х2-х + 2, (D2+ 1) у ^^~x + 2.y^w~{x'-x+l).
Разделив 1 на 1 + D2, получим Q2 (D) =1 — D2. Следовательно, у = (1 — D2) (X2 — X + 2) = X2 — х.
10) у" + 2у' 4- 2у = х2е~х, (D1 + 2D + 2) у = xV
11) у" + у = X COS X, (D2-f-1) у = X COS X.
Перейдем к уравнению (D- + 1) у = хе'х и потом возьмем действительную часть решения
У - ТЩГТ xelX ~ gU д (D + у) Х = gU TJ ( 27 + т) Х =
і (І + I) = «" + Т) = x + /sin X) Взяв действительную часть +• sin х -|- cos х, получим искомое решение.
Замечание. Последний пример показывает, как надо действовать оператором р-{Щ на многочлен' если ап~®- Представив F(D) в виде DSQ)(D), где свободный член многочлена Ф(Ц) уже не равен нулю, действуем на многочлен вначале оператором ¦ а затем
1
оператором -gp-.
Неоднородные уравнения Эйлера
а0хпуС> + axx"-iyc ~l> + ... +a„y = f (х) (2.86)
или
a0(ax + b)"yC+-ax(ax + b)n-lyC-V+ ... +any = f(x) (2.87)
можно интегрировать путем решения соответствующих однородных уравнений (см. стр. 110) и подбора одного частного решения неодно-
§ 7] интегрирование уравнении при помощи рядов 137
родного уравнения, или применяя метод вариации постоянных. Однако обычно проще вначале проинтегрировать однородное уравнение, а для подбора частного решения преобразовать уравнение Эйлера (2.86) заменой переменных х = ± е1 (для уравнения (2.87) ах-\-b = ± е') к уравнению с постоянными коэффициентами, для которых хорошо разработаны методы нахождения частных решений.
Пример 11.
х-Y (X) — ху' (X) + у (X) = XIn3 х. (2.88)
Ищем решение соответствующего однородного уравнения в виде у = х*
k2 — Ik + 1 = 0; (2.89)
ku 2 = 1. следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид у = (C1 + C2 In х) х. Заменой переменных х = е1 преобразуем уравнение (2.88) в уравнение с постоянными коэффициентами у (t) — 2у (t) -f- у = ?e* (левая часть этого уравнения сразу может быть написана по характеристическому уравнению (2.89)). Операторным методом легко находим частное решение преобразованного уравнения
' (D-Xf D2 ~ 20 ' ' 2O-
Следовательно, общее решение уравнения (2.88) имеет вид у = \сх +C2InX+ —J х.
§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов
Задача интегрирования линейных однородных уравнений «-го порядка
Po (X) У(л> + P1 (X) уО-1) + ... + Рп (х) у = 0. (2.90)
сводится к подбору п или хотя бы п — 1 линейно независимых частных решений. Однако частные решения легко подбираются лишь в исключительных случаях. В более сложных случаях частные реше-
od
ния ищут в виде суммы некоторого ряда 2 а;Фг (х), особенно часто
» = 1
в виде суМмы степенного или обобщенного степенного ряда.
Условия, при которых существуют решения в виде суммы степенного или обобщенного степенного ряда, обычно устанавливаются методами теории функций комплексного переменного, знакомства с которыми у читателя мы не предполагаем, поэтому основные теоремы этого параграфа даны без доказательства в применении к наиболее часто встречающимся в приложениях уравнениям второго порядка.
Теорема 2.9 (об аналитичности решения). Если Ро(х), р\(х), р2(х) являются аналитическими функциями х
