Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
(A = O1 1.....п—1), так как эти производные равны непрерывным
по предположению на отрезке а^х^СЬ коэффициентам —pn-k(x)-
114
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
ггл. 2
Еще раз отметим, что на начальные значения у0* не налагается никаких ограничений.
Из двух основных свойств линейного оператора L[cy| = cZ. [у).
My1 4-у21 = Z-Iy1I + L[y2l
где с - постоянная, непосредственно следует:
1) Сумма y-f-y, решения у неоднородного уравнения
MyI=/(X) .2.49)
и решения у! соответствующего однородного уравнения L[y\ = 0 является решением неодно родного уравнения (2.49). Доказательство.
My+ yj = L [у]+ L Iy1],
но L |у]=/(х), a LIy1J=O, следовательно,
L{y + yx\s=f(x).
2) Если у, является решением уравнения Lfyl = /,(x)
т
(/=1, 2.....т), то У=^]а(У/ является решением уравнения
L ІУІ = 2 ai/i (*)•
где q1 — постоянные. Доказательство.
S «,У,-
(2.50)
но Z-IyJ = Z1-(X)1 следовательно,
L
= 2 И/// (¦«).
Это свойство, называемое часто принципом суперпозиции (или принципом наложения), очевидно, остается справедливым и при
т-+оо, если ряд 2 atyt сходится и допускает я-кратное почлен-
ное дифференцирование, так как в этом случае возможен предельный переход в тождествах (2.50).
3) Если уравнение LIy] = LZ(X)-T-JV(X)1 где все коэффициенты Pi(x) и функции U(x) и V(x) действительны, имеет решение у = и (х) -f- Iv (х), то действительная часть реше-
5]
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
115
ния и(х) и мнимая часть v(x) являются соответственно решениями у равнений
L[y]=U(x), LIy]=V(X). Доказательство.
L [и+ Iv] = U (X) + IV (X)
или
L [и] H- iL \v] = U (X) -+ IV (х).
Следовательно, отдельно равны действительные части L\u]^U(х) Vi мнимые части L\v\ = V (х).
Теорема 2.8. Общее решение на отрезке a ^.x^fi уравнения L[y] = f(x) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами р((х) и правой частью f (х) равно сумме общего
п
решения 2 ctyt соответствующего однородного у равнения и / = і
какого-нибудь частного решения у неоднородного у равнения. Доказательство. Надо доказать, что
У = S СіУі + у.
(2.51)
где ct—произвольные постоянные, а у і (і = \, 2, п) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, является общим решением неоднородного уравнения L\y]=f(x). Принимая во внимание 1) (стр. 114) и справедливость для рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо доказать, что подбором постоянных C1 в (2.51) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям
(A = 0, 1, 2.....я — 1),
(2.52)
где а X0^.Ь. Требуя, чтобы решение (2.51) удовлетворяло начальным условиям (2.52), приходим к системе уравнений
a L
21 СіУі (X0)+у (Xq) =у0, і = 1
а
Ї с^ (X0) +у" (X0) = у'0\
1 = 1
(2.53)
8"
116
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
ГГЛ. 2
Эта линейная по отношению к постоянным с, система п уравнений с п неизвестными при произвольных правых частях допускает единственное решение относительно C1 (7= 1, 2, ..., п), так как определитель системы (2.53), будучи определителем Вронского U7Iy1, у2.....уп]
для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения, отличен от нуля при любых значениях х из отрезка а х <С b и, в частности, при х = х0.
Следовательно, интегрирование линейного неоднородного уравнения сводится к нахождению одного частного решения этого уравнения и к интегрированию соответствующего линейного однородного уравнения.
Пример 1.
у" + У = х.
Одно частное решение этого уравнения у — х, очевидно, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
у = cx cos x -(- C2 sin x (см. стр. 108, пример 4). Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения у = Cx cos x + C2 sin x -j- x.
Если подбор частного решения неодно родного у равнения труден, но общее решение соответствующего одно родного
п ь
уравнения у = 2 сіУі найдено, то можно проинтегрировать
ы\
линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянных.
При применении этого метода решение неоднородного уравнения
п
ищем в виде у = 2 C1 (х) У[, т. е. по существу вместо неизвестной i = I
функции у вводим п неизвестных функций C1(X). Так как подбором
функций C1(X) (г= 1, 2.....п) надо удовлетворить лишь одному.
уравнению
У{п)+ Pi(X) У""1'+ ... +рп (х)у = /(х), (2.49)
то можно потребовать, чтобы эти п функций C1(X) удовлетворяли бы еще каким-нибудь п—1 уравнениям, которые мы выбираем так,
п
чтобы производные функции у = 2 ci (х) у і (х) имели бы по воз-
i = l
можности такой же вид, какой они имеют при постоянных C1. Выберем ct(x) так, чтобы вторая сумма в правой части
п п
У' = S с,- (X) у\(X) + У, с\ (X) у,. (X) 1=1 1=1
§ S) ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
117
(=1
С\ (JC) у ДАТ) = 0.
и, следовательно,
у' = % с, (X) y't(x).
1 = 1
т. е. у' имеет такой же вид, как и при постоянных C1. Точно так же у второй производной