Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 37

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 131 >> Следующая


(A = O1 1.....п—1), так как эти производные равны непрерывным

по предположению на отрезке а^х^СЬ коэффициентам —pn-k(x)-

114

УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО

ггл. 2

Еще раз отметим, что на начальные значения у0* не налагается никаких ограничений.

Из двух основных свойств линейного оператора L[cy| = cZ. [у).

My1 4-у21 = Z-Iy1I + L[y2l

где с - постоянная, непосредственно следует:

1) Сумма y-f-y, решения у неоднородного уравнения

MyI=/(X) .2.49)

и решения у! соответствующего однородного уравнения L[y\ = 0 является решением неодно родного уравнения (2.49). Доказательство.

My+ yj = L [у]+ L Iy1],

но L |у]=/(х), a LIy1J=O, следовательно,

L{y + yx\s=f(x).

2) Если у, является решением уравнения Lfyl = /,(x)

т

(/=1, 2.....т), то У=^]а(У/ является решением уравнения

L ІУІ = 2 ai/i (*)•

где q1 — постоянные. Доказательство.

S «,У,-

(2.50)

но Z-IyJ = Z1-(X)1 следовательно,

L

= 2 И/// (¦«).

Это свойство, называемое часто принципом суперпозиции (или принципом наложения), очевидно, остается справедливым и при

т-+оо, если ряд 2 atyt сходится и допускает я-кратное почлен-

ное дифференцирование, так как в этом случае возможен предельный переход в тождествах (2.50).

3) Если уравнение LIy] = LZ(X)-T-JV(X)1 где все коэффициенты Pi(x) и функции U(x) и V(x) действительны, имеет решение у = и (х) -f- Iv (х), то действительная часть реше-

5]

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

115

ния и(х) и мнимая часть v(x) являются соответственно решениями у равнений

L[y]=U(x), LIy]=V(X). Доказательство.

L [и+ Iv] = U (X) + IV (X)

или

L [и] H- iL \v] = U (X) -+ IV (х).

Следовательно, отдельно равны действительные части L\u]^U(х) Vi мнимые части L\v\ = V (х).

Теорема 2.8. Общее решение на отрезке a ^.x^fi уравнения L[y] = f(x) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами р((х) и правой частью f (х) равно сумме общего

п

решения 2 ctyt соответствующего однородного у равнения и / = і

какого-нибудь частного решения у неоднородного у равнения. Доказательство. Надо доказать, что

У = S СіУі + у.

(2.51)

где ct—произвольные постоянные, а у і (і = \, 2, п) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, является общим решением неоднородного уравнения L\y]=f(x). Принимая во внимание 1) (стр. 114) и справедливость для рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо доказать, что подбором постоянных C1 в (2.51) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям

(A = 0, 1, 2.....я — 1),

(2.52)

где а X0^.Ь. Требуя, чтобы решение (2.51) удовлетворяло начальным условиям (2.52), приходим к системе уравнений

a L

21 СіУі (X0)+у (Xq) =у0, і = 1

а

Ї с^ (X0) +у" (X0) = у'0\

1 = 1

(2.53)

8"

116

УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО

ГГЛ. 2

Эта линейная по отношению к постоянным с, система п уравнений с п неизвестными при произвольных правых частях допускает единственное решение относительно C1 (7= 1, 2, ..., п), так как определитель системы (2.53), будучи определителем Вронского U7Iy1, у2.....уп]

для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения, отличен от нуля при любых значениях х из отрезка а х <С b и, в частности, при х = х0.

Следовательно, интегрирование линейного неоднородного уравнения сводится к нахождению одного частного решения этого уравнения и к интегрированию соответствующего линейного однородного уравнения.

Пример 1.

у" + У = х.

Одно частное решение этого уравнения у — х, очевидно, общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

у = cx cos x -(- C2 sin x (см. стр. 108, пример 4). Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения у = Cx cos x + C2 sin x -j- x.

Если подбор частного решения неодно родного у равнения труден, но общее решение соответствующего одно родного

п ь

уравнения у = 2 сіУі найдено, то можно проинтегрировать

ы\

линейное неоднородное уравнение методом вариации постоянных.

При применении этого метода решение неоднородного уравнения

п

ищем в виде у = 2 C1 (х) У[, т. е. по существу вместо неизвестной i = I

функции у вводим п неизвестных функций C1(X). Так как подбором

функций C1(X) (г= 1, 2.....п) надо удовлетворить лишь одному.

уравнению

У{п)+ Pi(X) У""1'+ ... +рп (х)у = /(х), (2.49)

то можно потребовать, чтобы эти п функций C1(X) удовлетворяли бы еще каким-нибудь п—1 уравнениям, которые мы выбираем так,

п

чтобы производные функции у = 2 ci (х) у і (х) имели бы по воз-

i = l

можности такой же вид, какой они имеют при постоянных C1. Выберем ct(x) так, чтобы вторая сумма в правой части

п п

У' = S с,- (X) у\(X) + У, с\ (X) у,. (X) 1=1 1=1

§ S) ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

117

(=1

С\ (JC) у ДАТ) = 0.

и, следовательно,

у' = % с, (X) y't(x).

1 = 1

т. е. у' имеет такой же вид, как и при постоянных C1. Точно так же у второй производной
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed