Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Если опять вернуться к тригонометрическим функциям, то это правило можно сформулировать так:
а) Если р + ql не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение надо искать в виде
у =z єр* [P3 (х) cos qx 4л Q3 (х) sin qx],
где Ps(x) и Qs(x) — многочлены степени s с неопределенными коэффициентами.
Заметим, что если один из многочленов Ps(x) или Qs(x) имеет степень ниже s или даже, в частности, тождественно равен нулю, то все же оба многочлена Ps(x) и Qs(x) будут, вообще говоря, иметь степень S.
б) Если pztqi являются а-кратными корнями характеристического уравнения (резонансный случай), то частное решение надо искать в виде
у == хаеРх [Ps (х) cos qx -+- Q3 (х) sin qx]. Пример 7.
у" 4- 4у' 4- 4у = cos 2х.
Так как числа ±2/ не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
у = A cos 2х 4~ В sin 2х.
Пример 8.
У" 4- 4у = cos 2х.
Так как числа ±2/ являются простыми корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
у = X [A cos 2х 4- В sin 2х].
Пример 9.
yIV4-2y"4-y = sin.x.
Так как числа ± I являются двукратными корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
у s» хг (A cos X 4- В sin х).
Пример 10.
у" 4- 2у' 4- 2у = в-* (х cos X 4- 3 sin л:).
Так как числа — \ ± і являются простыми корнями характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
у =» хе~х [(A0X4- Ai) cos X4- (В0х4- В{) sin х].
§ 6] НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ. 129
9 Л. Э. Эльсгольц
Во многих случаях при нахождении частных решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью вида (2.73) целесообразно перейти к показательным функциям.
Например, в уравнении
у" — 2у' + у = cos X
можно преобразовать cos х по формуле Эйлера или, еще проще, рассмотреть уравнение
у" — 2у' + у = е1х, (2.75)
действительная часть решения которого должна удовлетворять исходному уравнению (см. стр. 114—115).
Частное решение уравнения (2.75) можно искать в виде
у = Ае1х.
Тогда
А = , у = -g- (cos X -\- ? sin х).
Частное решение исходного уравнения
у~! = Re у = — -i- sin х.
Для нахождения частных решений линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами во многих случаях очень удобен операторный метод.
Понятие об операторном методе решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для производных порядка k введем обозначение
Tx^ = ° у-
Пользуясь этим обозначением, запишем уравнение
а0)'(й) H-^y«"-"+ ...+any=f(x)
в виде
a0Dny + axDn-ху + ... + апу = /(х)
или
(a0Dn + axD"~1 H- • • • + an_xD + оjу = f (х). (2.76) Выражение
a0Dn + axDn-1 + ... + a„_xD + а„
называется операторным многочленом. Этот операторный многочлен кратко обозначим F(D), а уравнение (2.76) запишем в виде
F(D)y=f(x).
130 уравнения порядка выше первого ггл. 2
Непосредственной проверкой легко устанавливается справедливость следующих тождеств:
1) F(D)ekx==ekxF(k),
2) F (D2) sin ах = sin axF (— а2).
3) F (D2) cos ах = cos ахF (—а2),
4) .F(D) ekxv (x) = ekxF (D + k) v (x).
Действительно:
1) F(D)ekx = (a0Dn+aiDn-l+ ... + an)ekx =
= ekx(a0kn + aikn-'+ ... + a,) = ekxF(k).
2) F(D2) sin ax = (aQD2n + U1D2"-2+ .. . + a^D2 + a Jsin ax =
= K (- a2)" + «i (- a2)""' + ... + ae-i (- a2) + a„\ sin ax =
= sin axF (— a2).
Тождество 3) доказывается совершенно аналогично:
F (D2) cos ax = cos axF (— a2).
я
4) (D) ekxv (X) = (ekx v(x)) =
p = o я
= **x S «„-, (X) + p^-'Do +
P=O
+ P(P-V kp-2D2v+._, +D"v] =
я
= ekx On-pФ + k)pv = e'lxF (D + k)v (x).
P=O
Суммой двух операторов F1(D) и F2(D) называется оператор [F1(D)-+ F2(D)], действие которого на некоторую функцию / (х) определяется равенством
[F1 (D) + F2 (D)] / (X) = F1 (D) / (X) + F2 (D) / (х). Из этого определения следует, что
І an-pDp + І bn_pD*> = І (an_p + bn_p) D>.
P=O P=O P=O
так как действие левой и правой частей этого равенства на некоторую п раз дифференцируемую функцию /(х) приводит к одному и тому же результату, т. е. правило сложения операторных многочленов не отличается от правила сложения обычных (не операторных) многочленов.
§ 61 НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФ. 131
2 W№ (*)
P=Oq=O
что совпадает с результатом действия оператора
п m
2 S "n-pK-p^9
р = 0 q = 0 4
на f(x).
Из (2.77), в частности, следует коммутативность умножения операторов
F1(D) F2(D) = F2(D)Fx(D).
Справедливость дистрибутивного закона
F (D) [F1 (D) -j- F2 (D)] = F (D) F1 (D) + F (D) F2 (D)
непосредственно следует из правила дифференцирования суммы. Следовательно, действия сложения и умножения с операторными многочленами не отличаются от тех же действий с обычными (не операторными) многочленами.
Определим теперь оператор ¦
Результатом действия оператора -щщ на некоторую непрерывную функцию f (х) является решение уравнения
F(D) у =/(*), (2.78)
