Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Опираясь на теорему об аналитической зависимости решения от параметра (см. стр. 55), легко обобщающуюся на уравнения второго и более высокого порядков, можно утверждать, что решения x(t, и) уравнения (2.107) будут аналитическими функциями параметра \х при достаточно малых по модулю значениях ц, если функция /(() непрерывна, а функция F (t, х, х, и), непрерывная по t, аналитически зависит от остальных аргументов: от х и х в той области, в которой в дальнейшем будут меняться эти переменные, а от р, при достаточно малых по модулю значениях и.
Предполагая, что эти условия выполнены, ищем периодическое решение x(t, р;) в виде суммы ряда
x(f, \i)= xQ(t) + \ixx(t) + Wx2V) + ••• +WxnV)+ ...
Дифференцируем этот ряд почленно два раза:
x(t, ц) = *<,(*) 4-(Ji1(O 4- ••• +WxnV)+ .... x(t, H) = X0(OH-(J-X1(O-T- ••• +W1XnV)+.....
10*
148
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
ггл. 2
и подставляем в уравнение (2.107), в котором функция F(t, х, х, ц.) предварительно разложена по степеням х — х0, х — X0 и р.,
X ¦+¦ а2х = f (t) + р
F ((, х0, х0, 0) -4- (X — X0) +
X = Jf1
H = O
+(?)<*-*о)+(
dF\
P + .-
X = Xn H = O
(2.108)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и, в левой и правой частях уравнения (2.108), получим
X0-+ O2X0 = f(t),
X1 -+• а2х, = F (t, х0, х0, 0)
V dx
*,+(?Li,+(?)„.
X= Xo
H = O
X = X11
H = O
X=X:
H = O
(2.109)
Первое из этих линейных уравнений совпадает с порождающим уравнением. Интегрируя его и подставляя найденное решение x0(t) во второе уравнение, получим для определения X1 (t) опять линейное уравнение и т. д.
Для определения xn(t) мы также получим линейное уравнение, так как в правой части этого уравнения будут содержаться лишь Xj к Xj с индексами, меньшими я, потому что из-за наличия множителя р, при F члены, содержащие в правой части Xn и Xn и, тем более, xk и xk с большими индексами, будут иметь множитель u-в степени не ниже я -f- 1.
В этом параграфе мы рассматриваем лишь вопрос о нахождении периодических решений, поэтому на правую часть уравнения
Xа?х = f (t)+-\xF (t, х, х, р),
в соответствии с замечанием на стр. 143—144 естественно наложить еще одно ограничение, а именно потребовать, чтобы правая часть была периодической функцией по явно входящему аргументу t. Без существенного ограничения общности можно считать наименьший период правой части, если правая часть явно зависит от t, равным 2л, при этом, если f (f) не равно постоянной величине, периодические решения уравнения (2.107), если они существуют, при достаточно маломц могут иметь лишь периоды, равные.или кратные 2л (см. стр. 143—144).
МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
149
Для нахождения периодического решения уравнения (2.108) в виде X(f, ц) = *„(0+••• + !*"*«(') + ••• (2Л1°)
надо определить периодические решения xk (f) уравнений (2.109). Действительно, если решение X (t, р,) имеет постоянный период 2л (или 2тл, т — целое число) при любом достаточно малом по модулю |л, то
X0(t) + ^x1 (г*)... +11"¦Kn(O+ ••• = *0(* + 2я) +
4- vx, (t + 2я) + ... + н"д:„ (f + 2я) + ... (2.111)
Следовательно, коэффициенты при одинаковых степенях ц в левой и правой частях тождества (2.111) должны быть равны, т. е.
Xn(I) = Xn (г* + 2я),
а это и означает периодичность функций xn(t) (га = 0, 1, 2, ...). Совпадение • коэффициентов при одинаковых степенях fi в левой и правой частях тождества (2.110) можно обнаружить, например, дифференцируя тождество (2.110) п раз по fx, после чего, полагая \i = О, получим
Xn(2л -\-t) = xn(t) (я = 0, 1, 2, ...).
Итак, нам надо найти периодические решения уравнений (2.109). При этом целесообразно отдельно рассмотреть следующие случаи.
1. Нерезонансный случай: а отлично от целого числа. Если а не равно целому числу, то первое из уравнений (2.109) имеет единственное периодическое решение X0 = %(t), которое находим методом предыдущего параграфа (см. стр. 144). Затем тем же методом находим jc1(O, х2(() и т. д.
Если бы этим методом мы нашли общий член ряда (2.110), установили сходимость этого ряда и законность его двукратного почленного дифференцирования, то сумма ряда (2.110) являлась бы искомым периодическим решением периода 2я. Однако обычно нахождение общего члена ряда (2.110) является крайне сложной задачей, в силу чего приходится ограничиваться вычислением лишь нескольких первых членов ряда, что было бы достаточным для приближенного нахождения периодического решения, если бы была уверенность в том, что ряд сходится и его сумма является периодическим решением.
В связи с этим большое значение имеют теоремы А. Пуанкаре о существовании периодических решений, позволяющие, в частности, найти условия, при которых заведомо существует единственное периодическое решение уравнения (2.107), стремящееся при \х->0 к периодическому решению порождающего уравнения.
Если условия теоремы А. Пуанкаре выполнены и, следовательно, существует единственное периодическое решение уравнения (2.107), стремящееся при ц->0 к периодическому решению порождающего уравнения, то сумма единственного ряда с периодическими коэффи-
