Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
150
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
[ГЛ. 2
циентами (2.110), формально удовлетворяющего уравнению (2.107), должна существовать и должна совпадать с искомым периодическим решением. При этом отпадает необходимость нахождения общего члена ряда (2.110) для исследования ряда на сходимость и можно, найдя несколько первых членов ряда (2.110), утверждать, что при малом р их сумма приближенно равна искомому периодическому решению.
Теоремы А. Пуанкаре, опирающиеся на сведения из теории аналитических функций, довольно сложны, поэтому мы приводим в конце этого параграфа лишь простейшую из этих теорем, которая, однако, уже позволяет утверждать, что в рассматриваемом нерезонансном случае уравнение (2.107) всегда имеет единственное периодическое решение при достаточно малом р.
Пример 1. Приближенно определить периодическое решение уравнения
где ц. — малый параметр (определить два члена ряда (2.110)). Ищем решение в виде
X (/. |i) = X0 (0 + цх, (t)+ ... + и"х„ (0 + ... Находим периодическое решение порождающего уравнения X0 -j- 2х0 = sin /, X0 (t) = sin t.
Периодическое решение уравнения
" і о ¦ 9 4 " , л 1 — cos 2t X1 -\- 2X1 — sin21 или X1 4- 2х,=---
имеет вид
2. Резонансный случай. Метод малого параметра может быть применен и в резонансном случае, т. е." в случае, когда в уравнении (2.107) а равно целому числу п или стремится к целому числу п при р.—>0.
Если в уравнении (2.107) а мало отличается от целого числа п, „ точнее, разность а2 — п2 имеет порядок малости не ниже чем [і:
X 4- 2х == sin 14- [ix2,
cos 2t 4~"
Следовательно, периодическое решение
x (t, и) яз sin t 4- -г- (1 4- cos 2t) |i.
a2 — n2 = ax\i, где ax ограничено при \i—>0, то уравнение
(2.112)
X 4- a2x = f (t) 4- \iF ((, x, x, ]x)
можно переписать в виде
X 4- «2х = / (t) 4- (га2 —
a2) x-\-\iF (t, х, х, р),
§ 8] метол малого параметра 151
X0 +1I2X0 = f(t)
(2.113)
имеет периодическое решение лишь в случае отсутствия резонирующих членов в правой части, т. е. при выполнении условий (см. стр. 145)
j f(t) cos nt dt = О,
о
2я
J* / (/) sin nt dt = 0.
(2.106)
Если эти условия выполнены, то все решения уравнения (2.113) будут периодическими периода 2л (см. стр. 146)
X0(t) = C10 cos nt + C20 sin nt + ф0 (t). Функция X1(Jt) определяется из уравнения
X1 + H2X1 = F (jt, х0, х0, 0). (2.114)
Это уравнение также имеет периодические решения лишь в случае отсутствия резонирующих членов в правой части, т. е. при выполнении- условий
2л
j F (t, х0, х0, 0) cos nt dt = О,
2л
J F (t, х0, х0, 0) sin nt dt = 0.
(2.115)
откуда в силу (2.112)
X + п2х = f(t) + M-Fi (t, х, х, р),
где функция F1 удовлетворяет тем же условиям, которым по предположению удовлетворяет функция F.
Следовательно, в дальнейшем в резонансном случае можно считать а равным целому числу:
X + O2X = / (t) + \xF (г, X,, х, р.).
Применяя метод малого параметра, ищем периодическое решение в виде ряда
x(t, |і) = *о(*)+И*і(0+ ••• +1****0+ •••
Для определения функций xk(t) опять получаем уравнения (2.109), в которых а2 = п2, но в данном случае порождающее уравнение
152 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
Уравнения С2.115) содержат C10 и с20> которые, вообще говоря, и определяются из этой системы.
Пусть C10 и C20 удовлетворяют системе (2.115); тогда все решения уравнения (2.114) имеют период 2л:
X1 (t) = сп cos nt -f- с21 sin nt -f- (P1 (t), (2.116)
причем C11 и C21 опять определяются из двух условий отсутствия резонирующих членов в следующем из уравнений (2.109):
*=+^=(vL/-+(fL/'+(^L,
X — Xq X — Xq X — Х$
H = O ц = 0 (X = O
и т. д.
Следовательно, не каждому периодическому решению X0 = C10 cos nt -4- C20 sin nt -4- Фо (О
порождающего уравнения, а лишь некоторым, значения C10 и C20 которых удовлетворяют уравнениям (2.115), соответствуют периодические решения уравнения (2.107) при малых \i. Конечно, и в резонансном случае для того, чтобы, не находя общего члена ряда (2.110), быть уверенным, что указанным процессом будет найдено периодическое решение, надо предварительно доказать теорему о существовании периодических решений. Это замечание относится и к случаям, изложенным в следующих пунктах 3 и 4.
3. Резонанс га-го рода. Иногда в системах, описываемых уравнением
X + а2х = / (0 + LiF (Л х, х, Li), (2.107)
удовлетворяющим указанным выше условиям, наблюдаются интенсивные колебания, когда собственная частота мало отличается от —,
п
где га — целое число. Это явление получило название резонанса га-го рода.
С математической точки зрения .это означает, что при а, мало отличающемся от где п — целое число, большее единицы, уравнение (2.107) может иметь периодические решения периода 2яга, не являющиеся в то же время периодическими решениями периода In.
Пусть
'x + 4rX = f(t) + \iF(t, х, х, H) (2.117)
5 8] МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 153
I
F (t, х0, х0, ц) cos 1 dt = О, \пп (2.120)
j F (t, х0, х0, p.) sin ~ dt = О,
о
из которых, вообще говоря, определяются C10 и с20.
