Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Это решение обычно обозначается Jn (X) и называется функцией Бесселя первого рода порядка п.
При ? =—п, выбирая д0=-і-, аналогично получаем фун-
2~"Г (— л + 1) кцию Бесселя первого рода порядка —п:
P=O
Ряды (2.96) и (2.97) сходятся при любых значениях х (в (2.97) х Ф 0) и допускают двукратное почленное дифференцирование, следовательно Jn(X) J^n(x) являются решениями уравнения Бесселя (2.95).
При п, не равном целому числу, решения Jn(X) и J _п(х), очевидно, линейно независимы, так как их разложения в ряды начинаются с различных степеней X и, следовательно, линейная комбинация U1Jn(X)+a,J ^n(X) может тождественно равняться нулю лишь при Ct1 — Ct2 = 0.
Если же п равно целому числу, то, так как для целых отрицательных значений р и для р—0 функция Г (р) обращается в бесконечность, разложения в ряды функций In(X) и /_rt(x) начнутся с одинаковых степеней х и, как нетрудно проверить, функции Jn (х) и /_„ (х) будут находиться в следующей линейной зависимости:
J.n(x)=(-\)n Jn(X).
Следовательно, при целом п вместо J-п(х) надо искать другое решение, которое было бы линейно независимо от Jn (х). Такое решение можно получить различными способами, например, можно, зная одно частное решение /„ (х), понизить порядок уравнения (2.95) подстановкой, указанной на стр. 101, или сразу искать решение в виде суммы обобщенного степенного ряда и произведения обобщенного степенного ряда на In х. Получаемое любым из этих способов линейно независимое от Jn (х) решение при вполне определенном выборе произвольного постоянного множителя называется функцией Бесселя второго рода и обозначается Yn (х).
Чаще всего, однако, Yn (х) определяют так: считая пока п не равным целому числу рассматривают решение Yn (х) уравнения Бесселя, являющееся линейной комбинацией решений Jn(X) и J^n(X):
Y їх)= Ai(X) cos пк J—п (X) .
sin «я '
затем, переходя к пределу при п, стремящемся к целому числу, получают линейно независимое от Jn (х) частное решение уравнения Бесселя Yn (х), определенное уже и для целых значений п.
Итак, общее решение уравнения Бесселя при п, не равном целому числу, имеет вид
у = Cjn(X) +C3J.„(х),
142 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО (ГЛ. 2
Пример 5. Проинтегрировать уравнение
х2у" + ху' + ^4х2-~)у = 0
при условии, что решение должно быть непрерывно в точке X = 0 и у (0, 3) = 2. Общее решение имеет вид
у = C1J j (2х) + C2J j (2х). ъ - "з
Функция У j (2х) разрывна при х = 0, так как ряд (2.97) начинается - з
с отрицательных степеней х. Следовательно, решение у непрерывно в точке лишь при C2 = 0:
у = C1J^ (2х). а
решенной в такой же мере, в какой мы считаем решенной задачу, в которой ответ дан, например, в тригонометрических функциях.
Часто в приложениях приходится рассматривать уравнение
х*у" + ху' + (тгх2 — п2)у = 0. (2.98)
Это уравнение сводится к уравнению Бесселя заменой переменной X1 — тх. Действительно, при такой замене переменных
dy _ dy dxt _ dy d2y _ d2y
dx dxx dx dx, dx2 dx2
и уравнение (2.98) переходит в уравнение Бесселя:
*?-ft+ '.T^ +H-«^-а
dx\ dx} 4
Следовательно, общее решение уравнения (2.98) при п, не равном целому числу, имеет вид
У ¦= ciJn (тх) A- C2J _„ (тх),
а при п целом
у = CxJn (тх) -f C2 Yn (тх).
Пример 3.
х2у" + ху' + [Ux2- ¦^-Jy = O.
Общее решение уравнения имеет вид
у = C1J^ (2х) + C2J а_ (2х).
5 ~ 5
Пример 4.
х2у" + ху' + (Зх2 —- 4) у = 0.
Общее решение
у = C1J2(XfS)+ C2Y2(X УЗ).
§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ПРИ ПОМОЩИ РЯДОВ 143
Удовлетворяя второму условию у (0, 3) = 2, получим
2
cl - j1 (0,6)'
3
В таблицах Бесселевых функций находим j j (0,6) == 0,700, следовательно,
з"
с, sa 2,857 и
у и 2,857Z1 (2х).
"з
В приложениях часто требуется найти периодические решения некоторого дифференциального уравнения. В этом случае обычно целесообразно искать решение в виде суммы некоторого ряда Фурье:
X(О = 4" + S (A»cos"Г"' + ?»sin-r-')•
n = l
Заметим, что если уравнение
xW = F{f, х, X.....х(п-1)) (2.99)
имеет периодическое решение X0(O периода Т, то правая часть уравнения (2.99) вдоль рассматриваемой интегральной кривой является периодической функцией периода T по первому аргументу. Действительно, подставляя в уравнение (2.99) периодическое решение X = = X0 (t), получаем тождество
XW(O = F (Л X0(O, X0(O.....X0»-¦D (0).
Заменяя в этом тождестве г* на / -4- 7\ мы в силу периодичности функции X0 (0 и ее производных не изменим левой части уравнения и не изменим аргументов правой части, начиная со второго, следовательно.
P(t. х0(0, X0(O.....X0"-1 (0) =
=sF(t + T. X0(O, X0(O, .... х^-'ЧО),
т. е. функция F вдоль интегральной кривой X = X0(O имеет период T по явно входящему аргументу (.
Следовательно, если правая часть уравнения (2.99) при любом выборе X0(O не является периодической функцией по первому аргументу, то не существует и периодических решений. Если функция F не зависит явно от t, т. е. является постоянной по отношению к аргументу 0 то F можно рассматривать как периодическую по / функцию любого периода и поэтому не исключена возможность существования периодических решений какого угодно периода.
