Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
п п
У" = 2 C1 (х) у" + 2 C1 (х) у\
і = \ і = 1
требуем обращения в нуль второй суммы и тем самым подчиняем C1 (х) второму условию:
1 C1(X) у: = о. /=1
п
Продолжая вычислять производные функции у = 2 с Дх) у, до по-
i = i
рядка ге — 1 включительно и требуя каждый раз обращения в нуль
п
суммы 2 c'i (х) yf](x):
2 с\(x)y(ft>(Jc) = 0 (A= 0, 1, 2.....re —2). (2.54)
получим
У
/ = 1
Ci(X) у і
у'
= 11
I = i
C1 (х) у\
у"
Я
= 2
(=1
C1 (X) у]
і=і
я п
у») = 2 с, (X) yf + S <• (Jf) у[Г
(=1 i=l
В последнем равенстве мы не можем потребовать, чтобы 2 с'у(.п_11=0, так как функции ct (х) уже подчинены га—1 условиям (2.54),
(2.55)
равнялась нулю,
118
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
[гл. 2
а надо еще удовлетворить исходному уравнению (2.49). Подставляя у, у'.....у'п) из (2.55) в уравнение
У1"'+Pi (ж) У""" + •¦• + PnMy= fix), (2.49)
получим недостающее уравнение для определения C1(X) (г=1, 2.....п.).
При этом очевидно, что в левой части уравнения (2.49) останется
п
лишь сумма 2 с\(х)у^^Ч так как все остальные члены имеют такой же вид, как и при постоянных C1, а при постоянных C1 функция
п
у = 2 сіУі удовлетворяет соответствующему однородному уравнению.
1 = 1
В этом можно убедиться и непосредственным вычислением:
пи п п
2 ctyf- " + 2 C/yf -f- (X) 2 C<y<»- » + р2 (X) 2 с,уу - 2» + . . .
( = 1
+ ра(х) 2 ctyt = f(x)
или
21 сДО"-1' + 2 сЛу(.",+р,(х)у^-1>+ ... + Pn(X)уA=^f(X). (2.56)
(=1 1-1 <
Все Уі являются частными решениями соответствующего однородного уравнения, следовательно, у[^ + P1W^¦""^4 ¦ • • 4 Pn(X) у: =0 (і = 1, 2, .... л) и уравнение (2.56)-принимает вид
п
(=1
Итак, функции сг(х) (/=1. 2.....п) определяются из системы а
линейных уравнений
п
2] C1(X) у, = 0, ( = 1
п
2с)(ж)УІ—о. '
(=1
2 с; (X) у'; = о,
2 с;(х)у<.«-2' = о,
C=I п
2 с; w у')" -"=/(*)
<-1
(2.57)
ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
119
с отличным от нуля определителем системы, так как этот определитель
Уі У\
У2
У'* ¦
• Уп
¦ У'п
уГ1' .
* п
является определителем Вронского для линейно независимых решений соответствующего однородного уравнения. Определив из (2.57) все с\ (х) =(pt (х), квадратурами находим
Пример 2.
C1 (X) = J ф, (JC)AtJC + C1.
у" + у = -
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид у = C1 cos X -f- C1 sin х. Варьируем C1 и C2:
у = C1 (X) COS X + C2 (х) sin X.
C1 (X) и C2 (je) определяются из системы уравнений (2.57): C1 (х) COS X -4- C2 (х) sin X — О, — C1 (X) sin X+C2 (X) COS X = —1—,
откуда
C1 (х) =
sin X
, C1(X) = InIcOSxH-C1;
COS X
C2 (х) = 1, с2 (х) = X -f- с2. Общее решение исходного уравнения
у = C1 COS X + C2 sin X-)- COS X In I COS X I + X sin X. ПримерЗ.
X -f A2X = / (*)•
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид X=Ci cos at + с2 sin at. Варьируя постоянные х = C1 (t) cos я< -f- C2 (t) sin о/ получим
cj (t) cos a* -f c2 (t) sin = О, — ас\ (t) sin а* -J- ас2 (t) cos at = f (t),
120
УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО
[гл. 2
откуда
ci (О = — ~/ (*) sin at' ci(0 = —^ J f (") sin au du 4- C1,.
о
t
C2 (t) = і/(0 cos at, c2(t)=-L j* f (и) cos au du -j- C2,
о
cos аг /' . sin а/ /' ,, , j ,
x(0 =---— / / (и) sin au d«-|--/ / («) cos a« rf«+
5 o _
-f- Ci cos at -f- c, sin utf,
или
r
1 Г -
X (t) = — / / (u) [cos aa sin af — sin au cos аг1] du -j- c, cos a^ -f- cz sln аг>
o
откуда окончательно получаем t
x(t) = -L J /(u)sina(t — u)du-\-cx cos at -j- C2 sin at о
Заметим, что первое слагаемое правой части является частным решением исходного уравнения, удовлетворяющим начальным условиям х (0) = 0, Jc (0) = 0.
Итак, знание п линейно независимых частных решений соответствующего однородного уравнения позволяет методом вариации постоянных проинтегрировать неоднородное уравнение
L [у]= f(x).
Если же известно лишь k, где k < п, линейно независимых
решений У[, у2.....У к соответствующего однородного уравнения,
то, как уже указывалось на стр. 102, замена переменных позволяет понизить порядок уравнения до п—k, сохраняя его линейность. Заметим, что если k = п — 1, то порядок уравнения снижается до первого, а линейное уравнение первого порядка всегда можно проинтегрировать в квадратурах.
Аналогично могут быть использованы k решений неоднородного уравнения ^1, у2.....yk, так как их разности являются уже решениями соответствующего однородного уравнения. Действительно,
L[y,.] = /(x), L[yp] = f{x),
следовательно,
LIyj - УР] = L Gj] - L [ур\ =~/(X) -/(X) = 0.
§ 5] ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ . 121
у(X)= f К(х, s)f(s)ds
(2.62)
будет частным решением уравнения (2.59), удовлетворяющим Нулевым начальным условиям
У (Xn) = у' (X0)= ... =у(«-D(Xq) = O.
Действительно, дифференцируя (2.62) и принимая во внимание условия (2.60) и (2.61), получим
