Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
2л
¦2A1
¦ л
о
X cos (t2 —t0) dt2 = 0.
Первое из этих уравнений дает возможность найти значения с, а второе — A1, определив которые, мы найдем те решения порождающего уравнения X0 = CCOs(^2— to), в окрестности которых при малом р, появляются периодические решения уравнения (2.122), и приближенно определим период искомого решения 2л-{-а(ц) s» 2я(1 -(-A1P).
Зная с и A1, можно определить X1(^2) и, если необходимо, тем же методом вычислить X2V2), X3V2) и т. д.
Пример 2.
X 4-X = цх (9 — X2). (1.129)
Определить решения порождающего уравнения, к которым при ц -> 0 приближаются периодические решения уравнения (2.129).
Решения порождающего уравнения имеют вид х = с cos (t —10). Для определения искомых значений с воспользуемся первым из уравнений (2.128):
2л
' с (9 —• с2 cos2 (t -
о
лс ^9 — -^-j = 0, откуда с, = 0, с2>3 = ± 6.
При C1=O получаем тривиальное решение х = 0 порождающего уравнения, которое остается решением уравнения (2.129) при любом и.. При с2,з = ± 6 получаем х = ± 6 cos (t —10).
Докажем простейшую из теорем А. Пуанкаре о существовании и единственности периодического решения, стремящегося при Li—>0 к периодическому решению порождающего уравнения, в применении к уравнению вида
X = /V, х, х, Li), (2.130)
где функция / удовлетворяет условиям теоремы об аналитической зависимости решения от параметра Li при достаточно малых по модулю значениях Li. Кроме того, предположим, что функция / явно зависит от г* и имеет по t период 2л. Допустим также, что порождающее, уравнение x = f(t, х, х, 0) имеет единственное периодическое решение х = ф0(г*) периода 2я.
МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
157
Решение уравнения (2.130), удовлетворяющее начальным условиям
х V0) = ф0 V0) H- ?0, X V0) = Фо V0) + ?i>
обозначим X V> M- ?o> ?i)- Следовательно, ?0 и P1 являются отклонениями начальных значений решения x(t> Ц, ?0- ?i) и его производной X V' u> ?o> ?i) от начальных значений ф0 (г*0) и ф0 V0) периодического решения порождающего уравнения.
Задача заключается в том, чтобы указать условия, при которых для каждого достаточно малого по модулю значения Li существует единственное периодическое решение x(t, И. ?o> ?i) уравнения (2.130), стремящееся при Li —> 0 к периодическому решению (f0V) порождающего уравнения.
Если решение x(t> И. ?o> ?i) является периодическим с периодом 2л, то, очевидно, должны удовлетворяться следующие условия:
jc (2Л, li, ?0, ?j) — jc(0, li, ?0, Pj) = O,
X (2л, li, ?0, P1) — X(O, li, ?0, Pj) = O.
(2.131)
Обозначая левые части этих уравнений соответственно Ф0 (р,, ?0, ?t) и O1(Li, P0, P1), запишем систему (119) в виде
Ф0(И. ?o- ?i): Ф, (Ii, ?o- ?i) =
= 0,
:0.
(2.132)
Условия (2.132), называемые условиями периодичности, не только необходимы, но и достаточны для периодичности решения x(t ц, P0, P1) уравнения (2.130). Действительно, в силу периодичности правой части уравнения (2.130) по t, эта правая часть в полосах О < / < 2л, 2я < t < 4л, ...
принимает в точках (t> х, х), V H- 2л, х, х), ... одинаковые значения. Следовательно, если в точках / = 0 и t = 2л задать одинаковые начальные значения X0
и х0, то ими определяются в полосах 0 t <; 2я и 2л ^ t 41 4л
совершенно одинаковые интегральные кривые (рис. 22), точнее, кривые, являющиеся периодическим продолжением одна другой.
По теореме о неявных функциях можно утверждать, что, если якобиан
2л
Рис. 2.2.
4л
D (Фо, Ф|) D (Po, Pi)
ФО
158 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
X12-T-O2X12 = O1 X12(O) = O1 Xj2(O)=I,
(начальные значения получены из условий
x(ta, ц, Po, Pl) = X0 (Z0)+ Po. X (t0, u, P0, Pi) = Xo(^o)+ Pi).
откуда
Xn = COSa/, X12 = — sin at.
а
Условия периодичности (2.132) имеют вид
(cos 2ая—1) Po+-i-sin 2ая.Р[ + ... = 0,
О (Po, Pi)
а sin 2ая.р0 + (cos 2ая.— I)Pi+ ... =0, )т на величину опреде
при р = P0 = P1 = 0.
(cos 2яя — I)2 + sin2 2ая
где невыписанные члены не влияют на величину определителя
D (Фо, Фі) D(K P1)
Определитель
?>(Фо, Фі)
(I = Po=P1 = O
отличен от нуля, так как а не равно целому числу.
*) Подробнее о георемах существования периодических решений см. И. Г, M а л к и н [3].
в точке ц = О, P0 = P1 = O, то при каждом достаточно малом по модулю значении р существует единственная пара функций ?0(u) и Pi(M-)- удовлетворяющих условиям периодичности "(2.132) и стремящихся к нулю при р—»-0, т. е. в указанных условиях для каждого достаточно малого и, существует единственное периодическое решение уравнения (2.130), стремящееся к периодическому решению порождающего уравнения при р->0*). Это утверждение и составляет содержание теоремы Пуанкаре.
Пример 3. Доказать, что в нерезонансном случае для уравнения
х' + alx ==/(/)-1- \iF (t, х, х, ц), (2.107)
где / и F удовлетворяют указанным выше условиям (см. стр. 147), выполнены требования теоремы о существовании и единственности периодического решения.
Решение X (t, р, р0, ?i), являющееся аналитической функцией последних трех аргументов при достаточно малых значениях этих аргументов, ищем в виде
