Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
(если а мало отличается от —, точнее, а1--^5- = \хах, где ах остается
ограниченной при fx-»0, то, перенося член [а1—-^j х в правую
часть и включая его в \iF(t, х, х, ]х), получим уравнение вида (2.117)).
Ищем периодическое решение уравнения (2.117) периода 2яп в виде ряда
x(t. Ji) = *о(0+ 1**1 W+ ••• +Ня*я(0+ ••• (2.110)
Подставляя (2.110) в уравнение (2.117) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р., получим уравнения (2.109), в которых а=~. Для определения x0(t) получаем порождающее уравнение
Я> + ^ *о = /(')• f(2.118)
которое имеет периодическое решение периода 2яп лишь при отсутствии в правой части резонирующих членов, т. е. при
2ял 2ял
I /(OCOS-^aY = O и f /(0sin|-OY = O.
О O
Если эти условия выполнены, то все решения уравнения (2.118) имеют период 2яп
х0 = C10 cos - + C20 sin - + фо (0.
где C10 и C20 — произвольные постоянные. Уравнение, определяющее X1,
+^r X1= F (t, х0, х0, \i) (2.119)
будет иметь периодические решения периода 2яп лишь при отсутствии в правых частях резонирующих членов, т. е. при выполнении условий
2ап
154 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
Если условия (2.120) удовлетворяются, то все решения уравнения (2.119) имеют период 2лга
X1 = C11 cos j -f- C21 sin і- + ф, (t).
Для определения произвольных постоянных C11 и C21 пользуемся двумя условиями отсутствия резонирующих членов в следующем из уравнений (2.109):
X-Xq X-X^ X~X\i
Д=0 д=0 д=0
h = o
и т. д.
4. Автономный случай. Предположим, что правая часть уравнения (2.107) не зависит явно от t, и уравнение имеет вид
х-{- а2х = \iF (х, х, р.), (2.121)
где функция F удовлетворяет поставленным выше условиям. На первый взгляд может казаться, что исследование уравнения (2.121) должно быть проще исследования уравнения (2.107),, в котором правая часть зависит от аргумента t, однако в действительности отсутствие аргумента t в правой части уравнения приводит к усложнению задачи.
Если правая часть явно зависит от t, то, как уже отмечалось выше, известны возможные периоды решений, так как периоды решений могут быть лишь равными или кратными периоду правой части вдоль решений по явно входящему аргументу t.
Если же правая часть не содержит t, то ее можно рассматривать как периодическую функцию произвольного периода и, следовательно, не исключена возможность существования решений любого периода, причем период решений, вообще говоря, будет функцией параметра ]х. Ввиду того, что период решения X (г, ]х) является, вообще говоря, функцией р, было бы нецелесообразно искать решение в виде ряда
x(t, Ii) = X0(OH-JiJf1(O+ ••• +1*4,(0 +'-... (2.110)
так как каждая из функций Xn (0 в отдельности не обязана быть периодической функцией и, следовательно, функции х„(0 не могли бы быть найдены рассмотренными выше методами. Поэтому надо преобразовать уравнение (2.121) к новому независимому переменному так, чтобы по новому переменному уравнение имело бы уже постоянный период, а уж затем искать решение в "виде ряда (2.110).
§ 8] МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА 155
Для того чтобы уравнение (2.127) имело периодические решения, необходимо и достаточно,^ чтобы в его правой части отсутствовали
Предварительно для упрощения преобразуем уравнение (2.121) заменой независимого переменного tx = at к виду
-^f-f X = [IF1(X, х, р). (2.122)
Каждое решение порождающего уравнения X0Uj) = C1COsU1— ^о) будет иметь период 2л, а периодические решения уравнения (2.122) при \х Ф О, если они существуют, будут иметь период 2л-(-а(р), причем можно доказать, что а(р) является аналитической функцией р при достаточно малом р.
Разложим а(р) в ряд по степеням р; тогда
2л+ а (р) = 2л (1+A1P-J-A2P2+ ... + А„р* + . ..), (2.123)
где hj — некоторые, пока неизвестные нам постоянные величины.
Преобразуем переменные так, чтобы периодическое решение x(t, р) уравнения (2.122) имело бы период не 2л+а(р), а постоянный период 2л. Это достигается заменой переменных
^1 = Z2(I+A1P+ А2р2 + ... + А„рл + ...), (2.124)
так как, в силу зависимости (2.123), при изменении г, от О до 2л + а(р) новое переменное t2 изменяется от О до 2л. При этом уравнение (2.122) преобразуется к виду
-4,,+(1+^+ ••• +ах+ •¦•)2* =
= р(1+я1р+ ... + A„p" + ¦¦¦YFx(X, (1+A1H+ ...
... +/z„p"+ ¦¦¦Y1X12, р). (2.125)
Периодическое решение этого уравнения ищем в виде
XU21 р) = X0U2)+Px1 U2)+ ... +p"x„U2)+ .... (2.126)
где хп U2) — периодические функции аргумента t2 периода 2л. Подставляя (2.126) в уравнение (2.125) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р в левой и правой частях равенства, получим
X0+X0 = 0, откуда X0 = CCOsU2—
или
X1 + X1 = — 2A1C cos U2 —10) +
+ F1 (с cos U2 — ^0), — с sin U2-*0), 0) (2.127)
Ч° + Я f Fl (C C°S ~ '<>)• — C Sin (^2 — 'o). O) X
(2.128)
156 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [гл. 2
-*„)) sin2 (t — t0) dt = О
или
резонирующие члены (см. (2.106)), т. е. чтобы
2я
j F1(CCOs(^2 — ^0), —CsIn(^2 — ^0)« 0) sin (Z2 — t0)dt2 = Q, о
