Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
ции f (х) (§2, теорема 2) существует 8 = 8(^-j^>0 f 8 -g-j такое,
что
|/(л0 -/(*")! <х ПРИ ] а:'- х" | =s= 8.
Поэтому на каждом отрезке [(/г-1)/, /г/] найдется правый или левый
подотрезок Ik = [Xkt 5* -f- А] - 1)/, Щ, где Д = ±8
X Л//////Л///////4.
(К- -т ЬК ///////7/////// I л л 1 X
Рис. 59.
(рис. 59), для любой точки которого л:? [;ft, ?й-}-Д] справедливо
неравенство
\f(x)- / (УК}.
Следовательно,
\f(x)\^\f(k)\-\f(4)-f(x)\>\-~ = \ при х^[<к, (k=\, 2, ...). Таким
образом,
nl П kl
nl
{к - 1)1
nl
2 )\f(x)\dX>^.a.^ = fr
ft=i ih
13 Б. П. Демидович
386 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Переходя в этом неравенстве к пределу при п ->- оо, будем иметь
M{|/(*)|}ss?>0,
что и требовалось доказать.
Следствие. Для каждой почти периодической функции f (х) ф О выполнено
неравенство
М {[/(*) р}>0.
Замечание. Отметим еще одно свойство среднего значения,
которое нам понадобится в дальнейшем. А именно, если /" (х)
(п=1, 2, ...) - п. п. функции и
fn(x)Ztf(.x) при п -*¦ оо, (6.9)
л:
ТО
limМ {I /" (JC)!*} = м {i / (JC) [*}. (6.10)
ГС-*00
Действительно, из условия (6.9) получаем, что f (х) - п. п. функция (§ 4)
и
!/п (*) - /_(*) I О при п > iVe (0<е<1).
Отсюда находим
I fn (х) \ < 1 / (*) | + е < sup j f (х) j + 1 = при п > AY
л:
Следовательно, при п^> NE имеем
ИМ*) Р - I / (х) Г2! =
= ! IМ*) I -Ч / (х)! [.[ i/"W! + l/WII<
^=\fn(x) f (х) \ 2Г\ < 2Г, ¦ е.
Таким образом,
\fn MPl^i/MP при п -*¦ со.
л:
А так как |М*)1г и j/(x)|a -п. п. функции, то на основании свойства 7)
справедливо соотношение (6.10).
Полезно отметить, что если / (х) и g (х) - п. п. функции, то среднее
значение их произведения удовлетворяет обобщенному неравенству Коши -
Буняковского:
I м {/ (X) g (X)} р < М {! / (X) Р} м {I g (X) Р}. (6.11)
Действительно, при любом Т^> 0 имеем
г т т
у [ f(x)g(x)dx\^~^\f(x)\4x~ J \g(x)?dx.
'l и и
Отсюда, переходя к пределу при Т -> сю, получим неравенство (6.11).
§ 7] ПРОСТРАНСТВО ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 387
§ 7. Пространство почти периодических функций
Определение 1. Совокупность П всех п. п. функций f(x), где х?(- оо, оо),
будем называть пространством п. п. функций.
Если f(x), g(x)?TL и а, (3-любые комплексные числа, то а/ (jc) -)- $g(x)
? П. Поэтому пространство П линейное.
Если f(x), g(jt)?II, то сопряженная функция g(x)? П и f(x)g(x)? П (§ 2).
Следовательно, существует среднее значение
г
М {f(x)gjx)} = lim \f(x)g(x) dx.
7'-co о
Определение 2. Под скалярным произведением функции f (х), g (х) 6 П
понимается число
(/. g) = M{/(*)g(*)}- (7.1)
Из формулы (7.1) следует, что для скалярного произведения (/, g)
выполнены обычные свойства:
1) (/, /) = М{|/(лг) г} Ss0, причем (/, /) = О тогда и только тогда,
когда f(x) = 0;
2) (g, f) - ([7gy,
3) (af, g) = a.(f, g), (f, a.g) = z(f, g) (a. - комплексное число);
4) (/i + /g, g) = (fi, g) + (h, g), (f, gi + g'>) = (f, gi) + (f, g")
(//. g>€ П, /=1, 2).
Определение 3. Под нормой функции f (х) ? П понимается неотрицательное
число
11/11 =V(rn = №{\f(x)\4v. (7.2)
Введенная норма (определение 3) обладает всеми обычными свойствами нормы:
1) для имеем ||/(*)||^0, причем ||/(х)||=0
тогда и только тогда, когда f(x) = 0 (в силу теоремы 3 из § 6);
2) || а/ (х) || =| а | || f (х) || , в частности, || -f (х) || = || f
(х) || ;
3) для V f (х), g(x) ? П справедливо неравенство
ll/W + gWII<ll/WII + IlgWll. (7-3)
Действительно, при любом Т имеем
7 7
у § l/(*) + g(*)l3d* = y ^ lf(x) + g(x)] [f(x)-\-g(x)]dx =
о и
7 Г 7
= 7 § I № I3 dx + Т \ 'g dx+Tf\ Re У W ? W!-
0 0 о
13*
388 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Так как
I Re [/ (x)g(x)]\^\f (x)g(x) | | f{x) \ \g{x) I,
то в силу неравенства Коши - Буняковского (см. [51.1) находим
7 ____ т 7
{$ Re I/ (х) g (х)} dx}'2 < $ I / (х) |3 dx 5 j g (*)j2 dx.
О 0 0
Следовательно,
7
у § I f(x) + §(x)\%dx^
о
Переходя к пределу при Т -*¦ сю в последнем неравенстве, очевидно,
получим неравенство (7.3).
Если / (х), g (х) ? П, то, как обычно, вводим расстояние
Р (/> g), полагая
Р (/. ё) = II f(x) - g(x) || = V"M{ \f(x)- g(*)|2}.
Из свойств нормы следует, что если f(x), g(x), 1г(х)?П, то
1) Р (/> g)^(r)> причем р(/, g) = 0 тогда и только тогда, когда
f(x)=g(x);
2) Р (/. g) = P(g- /') (симметрия);
3) Р (/, g)^p(f, h)-\-p(h, g) (неравенство треугольника).
Следовательно, пространство п. п. функций П представляет
собой линейное метрическое пространство (см. гл. V, § 5).
Определение 4. Две функции / (х), g (х) ? П называются ортогональными,
если
(/, g)= М {/(х)^)} = 0.
Функция f(x)? П называется нормированной, если [[ f (х) || =1, т. е.
(/, /) = !•
Рассмотрим континуальную систему чистых колебаний е\-еи-х, где А.-
произвольное действительное число (-оо <^оо). Оче-
видно,
| е'Хх | = | cos kx -f- i sin \x | = 1, причем при \ ф 0 функция eiXx
имеет период
m 2тI
IgW \*dx\
§ 81
НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ
389
Лемма. Совокупность чистых колебаний \еПх} образует ортогональную и
нормированную систему, короче, ортонормирован-ную систему, в пространстве
