Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 95

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 121 >> Следующая

пара -почти периодов if = n'i\ и т? =
- п" т], где ti и п" - целые числа и \ir - zg \ I.
Так как zf - zg = (n'- п")т\ = щ, где п - целое число, причем \гщ\^1, то
п может принимать лишь конечное число
372 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 1ДОП.
значений; пусть это будут величины щт\, ад, ..., пр-ц, и пусть
"представителями" их являются пары у-почти периодов (т<^, т^), (Tf.^2)).
•••. i^f, ^). т- е-
zis} _zis)==n^ (5==1.....ру
Положим
max j | == Т.
Покажем, что каждый отрезок длины L = l-\-2T содержит по меньшей мере
один общий е-почти период т = (е) == ig (г) функ-
ций fix) и g(х).
Действительно, пусть [а, а-\- I -\-2Т\ есть произвольный отрезок длины L.
Возьмем на отрезке [а -\- Т, м -j- I -f- Т] длины I
два-^-почти периода ¦zf = n'i\ и zg = n"i\, и пусть - тг = /г4.-г] =
---_____ 1^15)
/ ? *
Отсюда получаем
-vp = ig - (3.1)
Так как ? [a -f- Т, а-\- I -f- Т] и | | <; Т, то т ? [a, a + /-f 2Т].
Нетрудно видеть, что число т является общим е-почти периодом функций fix)
и gix).
В самом деле, на основании формулы (3.1) имеем
l/(* + ^> - fix)\^\fiix~ ^5)) + v> - fix - т<?>)| +
+ \f(x- tW) -fiix- 4f) + Tty?)) i < -i- + L. = e
и
g ix + t) - g ix) | ==S I g iix - t(j)) -f- tg) - g (x - tW) I +
+ \g(x - - g ((* - ^5>) + ^>) I < Y + у = ?-'
Лемма доказана.
Замечание. Лемма 1 легко распространяется на конечное число функций.
Теорема 1. Сумма двух почти периодических функций есть функция также
почти периодическая.
Доказательство. Пусть fix) и gix) - п. п. функции и, следовательно, f
(х), g ix) (= С ( - со, оо). Отсюда f(x)-\-g ix) ? ? С (- оо, со).
Согласно лемме 1 для функций fix) и gix) при
§ 3] АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ДЕЙСТВИЯ 373
каждом s>0 существует относительно плотное множество их общих
/ ? ^ ( ? \
почти периодов х = ^-j = %g . Отсюда имеем
I [/(* + т) + g (* + 'с)] - [/(*) + g (*)] К
i / (x -f T) - / (*) i + ! g (x -f x) - g (x) \ < \ -f ^ = e,
т. e. T = y+g(e), что и доказывает почти периодичность суммы f (х) + g
(х).
Следствие 1. Сумма конечного числа почти периодических функций (или
периодических функций с любыми периодами) есть функция почти
периодическая.
Следствие 2. Линейная комбинация
П
/w=2 ckfk (х) (Ck - постоянные) k = i
почти периодических функций fk(x) (k=\, п) есть функция почти
периодическая.
В частности, каждый тригонометрический полином
Р(х)= 2c*e'V
k=\
(ХА, действительны) является п. п. функцией.
Замечание. Существуют п. п. функции, не являющиеся периодическими.
Например, / (х) = sin х -|- sin (х у~2) есть п- п- функция, не сводящаяся
к периодической.
Теорема 2. Произведение двух почти периодических функций есть функция
почти периодическая.
Доказательство. Пусть f (х) и g(x)- п. п. функции и {х} - относительно
плотное множество их общих s-почти периодов:
х = т,(е) = хг (е).
Замечая, что f(x)g(x)eC(-оо, оо) и полагая (§ 2)
УИ = sup j/(*) | и W = sup !g(*)|,
X X
будем иметь
i / (* + т) g (X + х) - / (дс) g (х) I I g (X -+ х) 11 / (х + т) - / (*)
I -+
+ I / (х) II g (X + X) - g (х) \ < Nz -j- Ms = (М -f N) S.
Так как число (Л1 -|- Л/) s может быть произвольно малым, то отсюда
вытекает почти периодичность произведения f(x)g(x).
374 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Следствие 1. Произведение конечного числа почти периодических функций
есть функция почти периодическая.
Следствие 2. Целая положительная степень почти периодической функции есть
функция почти периодическая.
Лемма 2. Если f (х) - почти периодическая функция и
ini j/(x)j = /i>0,
- co<zx<Zco
то также почти периодическая функция.
Действительно, если т = т/(еЛ-), то имеем
I / (X + т) -/ (х)! th2
\ /,2 --?-
f (х-\- т) / (х)
\f(x) \ \f(x + %) \ \ Л2
¦F {
Теорема 3. Частное двух почти периодических функций f(x) и g(x), где
inf \g(x) 1 > О,
X
есть функция почти периодическая.
Доказательство непосредственно следует из формулы
fA*L = ftx). -1 ..
g(x) g(x)>
теоремы 2 и следствия 2.
§ 4. Равномерно сходящаяся последовательность почти периодических функций
Теорема 1. Если последовательность почти периодических функций fi(x),
fi(x), ..., fn(x),... равномерно сходится на всей числовой оси - со х со,
то предельная функция
f(x) = \imfn(x)
п -> ОО
является почти периодической.
Доказательство. Пусть е^>0 произвольно мало. В силу равномерной
сходимости
fn (х) / (х) Е с (~ со, со)
существует число N = N(z) такое, что
\f(x)~fN(x)\<~, (4.1)
причем f (х) ? С (- со, со).
РАВНОМЕРНО СХОДЯЩАЯСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
375
Пусть t = - почта период функции fN(x) с точностью
до Используя неравенство (4.1), имеем
i / (X + т) - / (х) I I / (X + т) - fN (X + т) I -f
+ I /л' (Х + т) - /а' (х) I + I /лг (х) - / (х) I
Отсюда, учитывая относительную плотность множества чисел т, заключаем,
что предельная функция / (х) почти периодическая. Следствие 1. Каждая
функция
допускающая равномерную аппроксимацию конечными тригонометрическими
полиномами:
(п=1, 2, ...), является почти периодической.
Замечание. Справедлива также обратная теорема, т. е. каждая п. п. фуикция
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed