Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
, С
г а->1 т*Т
0 7 а \аЛ х
т
Рис. 58.
функции / (х) с точностью до ^ (рис. 58). Имеем
а + Т Т
^ f (х) dx - J / (х) dx =
а О
т + 7~ 7 а+Т z
= [ \ f(x)dx-\f(x)dx]+ J f(x)dx+\f(x)dx= .
i 0 т ¦-(- Т а
Т т X
= $[/(* + " - f(x)]dx- 5 f{x)dx+ \f{x)dx.
О 0+7" а
Отсюда, учитывая, что
|/ (X+ ,)_/(*) K-L
и
О sg т - a sg I,
получаем
а + т т т
| J f(x)dx - $ / (х) dx | ==? ^ I / (х + т) - f(x)\dx-\-
а 0 0
г+Т
+ $ \f(x)\dx + \\f(x)\dx<~T + 2lT, (6.1)
а-\- Т а
где r = sup | f (х) |.
л:
2) Покажем, что последовательность
П
~^f(x)dx (п= 1, 2,....)
О
имеет предел при п-> со.
§ fi]
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
381
Для этого применим критерий Коши. А именно, для любых натуральных чисел
пят имеем
п т
j jj f{x)dx- f (x) dx =
n nm
= J f(x)dx-± \ f (x) dx } -f
0 0
nm m n nm
Ь {ш 5 f (X) dx ~ 4S f W dx\ | nm | m\f(x)dx~ \ f(x)dx +
kn
+ + | f(x)dx - njj f(x)dx S f(x)dx~ J t^dx +
о о ы !) {k-\)n
n km m
21 § f{x)dx~ Sf{x)dxI-
k - I (k - hm
Отсюда, используя формулы (6.1), получим
п т
IS
I dx - - \ f(x)dx
0 0
S- i_. m (1 n -f 2iv) -f JL . nl^m + 2iv\ = ~ + 2/Г (- 4- -V
nm \ 4 1 ) ' nm \ 4 1 2 1 \n 1 mj
Выбирая теперь N столь большим, чтобы
8/г
N>\
при п, т^> N будем иметь
п т
- jj f{x)dx - ~ jj f(x)dx !<e.
Следовательно, критерий Коши выполнен и, таким образом, существует
п
lim -J- f f(x)dx.
п -> со *J
3) Теперь нетрудно доказать, что
П
' S
О
М
(6.2)
382 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Действительно, полагая
[ДОП.
Т - п-\- q,
где п - натуральное число и и учитывая ограничен-
П
ность выражения ~ ^ f(x)dxt при Г ->со будем иметь о
Т п п Т
jj f(x)dx - 1 ^f(x)dx = {y~ i) \f(x)dxJr 4 S f(x)dx =
0 0 On
T
n I?
^ f {x) + y\f(n + x)dx = o(jr)-5 ' o
Отсюда непосредственно вытекает равенство (6.2).
Теорема о среднем доказана.
Теорема 2 (усиленная теорема о среднем). Для всякой почти периодической
функции f (х) равномерно по параметру а? (- со, оо) имеет место
предельное соотношение
а+ г
lim^ ^ f(x) dx = fA {f (х-\-а)} = М {f (*)}. (6.3)
7'-" со * *)
Доказательство. Из формулы (6.1) при любом а имеем
а (- г т
jj f (x)dx - y ^ f (x)dx
_1_
Т
_L -
' "I т *
(6.4)
где 1 = 1,
и Г = sup | f (x) |.
Отсюда, в частности, получаем
> i i
jj f (x) dx - у \ f(x)dx J -f
(V - 1)7
2/Г
T
(V = l, 2, ...).
Следовательно, для среднего арифметического
пТ
i 2 {т S f(x)dx~y<]f(x)dx}=^f\f (х) (х) dx
v=l (v-l)r 0 0 О
также будем иметь
пТ
Л ^f(x)dx - y jj f(x)dx1^-- +2^'.
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
383
Переходя к пределу в последнем неравенстве при п-> оо, в силу
существования среднего значения М j f(x)} находим
М
Ш*)} - т § dx
Из неравенств (6.4) и (6.5) выводим
a+J
^ f(x)dx-M{f(x)}
1
Т
I 2/Г
т г т ¦
, 4/Г
Г \ '
2 1 7
(6.5)
(6.6)
если только
j, 8/Г
А это и значит, что
а+Т
( / (х) dx М {/ (а')} при Г-> оо. *3 а
Следствие I. Яри любсш а = а(Т) имеем
а(Т)+Т
lim ^ f (х) dx = N[ {f(x)}.
Т-+ГО
(6.7)
а {Т)
Действительно, из формулы (6.6) находим
о(Л+ Т
n ^ f(x)dx - M. \f(x)} <е
о (Т)
8/Г
при -. А это, очевидно, эквивалентно формуле (6.6).
Следствие 2. Полагая а(Т) =- Т в формуле (6.7), получим
М
{/ (*)} = lim [ f (х) dx = lim [ f (х) dx.
'Г-*zo 1 J. Т^ао Z1
Среднее значение п. п. функции f (х) обладает следующими очевидными
свойствами:
1) если f (х) =с = const, то М{с}=с;
2)M{/(%)}SsO при /(*);> О, Ц {77^)}=М {/(*)};
3) М{/(* + a)} = {/(*)}
(а - произвольное действительное число);
4) М {/(ах -f- b)\ =М\f(x)}
(а Ф 0 и b - произвольные действительные числа);
384 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
5) М {а/ (Л-) 4- $g (л-)} = аМ {/ (А-)} 4- ЗМ {g (Л-)}, в частности,
М {<*/(*)} =аМ {/(*)}
if ix) и g(x) - п. п. функции, а и [3 - произвольные комплексные числа);
6) | М {/ (*)} | < М {! / (х) j} sup j / (*)!;
л:
7) если fn(x) (п-1, 2, ...) - п. п. функции и
fn(x)ltf(x) па (~ 00. °°).
л:
ТО
lim М{/"(*)}=М {/(*)}. (6.8)
п -+ СО
Действительно, при /г jV (е) имеем
! fn (х) - f{x)! < в.
Поэтому
|М{Ы*)}-М (f(x)} |^М{|/Лл:)-/(*Ш^ММ==е
и, значит, справедлива формула (6.8).
В частности, для равномерно сходящегося на (- оо, оо) ряда ^ ср" (х) п.
п. функций ср" (х) имеем
П
М {? ?"(*)}== 2 М {<ря(*)}.
п п
Если f{x) - п. п. функция, то !/(*)] является также п. п. функцией (см. §
1). Следовательно, существует
т
М {|/(*)|} = Пт ~ \ | /(*) I dx.
Очевидно, М {| / (х) \} 0, причем М {0} = 0. Докажем, что
M{j/(x)j} = 0 тогда и только тогда, когда /(*) = 0. С этой целью докажем
следующее предложение.
Теорема 3. Если почти периодическая функция 1(х)ф0, то
м {!/(*)! }>о.
Доказательство. Пусть
|/(х")|^а>0.
В силу известного свойства п. п. функции (§ 1, замечание) существует
число /^>0 такое, что каждый отрезок [(k - 1)/, /г/]
§ 6]
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
385
(k- 1, 2, ...) длины / содержит точку = х0 v (^], которая --конгруэнтна
точке xQt т. е.
I f&)-f(xo)\<Y
(k=\, 2, ...). Отсюда
1/(У1 = I/(*.)-{/(*.)
^1Д*и)|-|Д*")-/(5*)1>*-у = |.
На основании свойства равномерной непрерывности п. п. функ-
/ а '' ' I \
