Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Для непрерывной чисто периодической функции f (х) периода Т
ряд Фурье (9.3) совпадает с ее обычным рядом Фурье:
-{-¦со 2n~xi
/(х)сл 2 о.пе т ,
§ 9] ПОНЯТИЕ О РЯДЕ ФУРЬЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ФУНКЦИИ 303
где
'Inr.xi
(п - О, ±1, ±2, ...), если, конечно, не учитывать порядок членов ряда и
пропуск членов ряда с нулевыми коэффициентами. Действительно, для любого
целого т имеем
т '!
2_ тТ
о V^l (v--b т
т
mi m v /
\f(x)e ах dx = V J f (Х) е-** dx =
HI I
= ITn Z e~a (V~1) 1 T \f W e'~ax dx-
Отсюда, если X = (n - целое), то
lye-,-b,v-,) r=1 m Al '
и поэтому
mT T
М \f (х) eilx\ = 1 im \ f (x) e~iXx dx = \ f (x) e~iXx dx = v
^ -о 61
Если же то e~iXT Ф 1. Следовательно,
m .
1 i p-itnl T
1 у e-n iv-l, t= _Lzi- ^ о
w(l- e~aT)
при m-"-oo, и таким образом,
M {f(x)e iXx} = 0.
Теорема 1. Для каждой почти периодической функции f (х) сумма квадратов
модулей ее коэффициентов Фурье Ап образует сходящийся ряд, причем
справедливо неравенство Бесселя:
I /..V) •>}. (9,5)
394
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ДОП.
Теорема непосредственно вытекает из доказанного раньше неравенства
Бесселя (§ 10).
Следствие. Коэффициенты Ап ряда Фурье почти периодической функции / (х)
стремятся к нулю при п-^-оо, т. е.
Замечание. Как будет доказано выше, в формуле (9.5) всегда имеет место
знак равенства.
Теорема 2. Равномерно сходящийся на оси -сохоо тригонометрический ряд
является рядом Фурье своей суммы / (л:).
Доказательство. Отметим, прежде всего, что сумма f{x) равномерно
сходящегося ряда есть п. п. функция (§ 4, теорема 1). Далее, так как для
равномерно сходящегося ряда п. п. функций знак среднего и знак
суммирования перестановочны, то
Следовательно, числа Хь Х5, ... образуют спектр функции f(x), а с"(п-1,
2, ...) являются ее соответствующими коэффициентами Фурье. Таким образом,
ряд (9.6) есть ряд Фурье функции f (х). Следствие 1. Если
есть ряд Фурье своей суммы.
Следствие 2. Существуют почти периодические функции с произвольным
счетным спектром.
lim Ап = lim М {/ (х)е а"х\ = 0.
СО
(9.6)
со
М {/ (*) ег**) = М {? спе! (>¦"-*> *} =
если Х = Х"; если X ф \п.
СО
то тригонометрический ряд
СО
gini ФОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД РЯДАМИ ФУРЬЕ 395
Действительно, пусть Аь ••• - произвольмог счетное множество вещественных
чисел. Тогда сумма равномерно сходящегося ряда
СО
п= 1
со
где 2 |с"|<^со, будет представлять собой п. п. функцию с дан-
л = 1
ным спектром {Хп}.
Заметим, что структура спектра А = {Х"} п. п. функции может быть весьма
сложной. Например, могут существовать конечные точки сгущения спектра,
спектр может быть всюду плотным на действительной оси и т. п. Этим
объясняется трудность изучения ряда Фурье п. п. функции по сравнению с
чисто периодической функцией F (х) данного периода Т = 21, имеющей ряд
Фурье:
+ со innx
F(x)<yz 2 c"e 1 -
п - - со
спектр которого представляет арифметическую прогрессию
K = -f (п = 0, ±1, ±2, ...).
§ 10. Формальные операции над рядами Фурье почти периодических функций
Пусть f(x) и g(x) - п. п. функции, т. е. / (х), g (х) (= II. Рассмотрим
их ряды Фурье:
f (х) ся 2 Aneilnx = 2 а (к) eilx
п X
g (х) ел 2 ВпвЦLn* = 2 ь (х) ^ •
п X
Тогда справедливы следующие соотношения:
1) if (х) -f fig (х) сл ^ [з.а (X) -f $b (X)] еах
х
(а, ,3 - произвольные комплексные числа);
2) / (х -Ь h) zn, У] а (к) еанеах
К
(h - произвольное действительное число);
3) eitLX }(х)ю]^а(к)е'^х
(и, - произвольное действительное число);
4) fjxjzл^а(к)е^1х.
396 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (ДОП.
Соотношения 1) - 4) легко вытекают из общих свойств среднего значения п.
п. функции (§ 6).
Пусть f(x), f (х) ё П (см. § 4). Для производной /' (х) построим ее ряд
Фурье:
Г (х) со ^ ai (х) е°'Х•
Интегрируя по частям, будем иметь а,(Х) = М {Г(х)е-;и\ =
lim
Т -" сс
J f(x) е х о -f ДМ {/ (*) е •*} = Па (X),
где а (/.)-коэффициент Фурье функции f(x).
Следовательно,
f (х) со ^ На (X) (10.1)
х
и, таким образом, ряд Фурье производной п. п. функции в
случае
ее почти периодичности получается формальным почленным диф-
ференцированием ряда Фурье самой функции:
f{x)zn^a{X)eax. (10.2)
А
В частности, спектр производной f (х) совпадает со спектром функции f
(х), за исключением точки Х = 0.
Пусть / (х) - п. п. функция и
.V
F(x) = \f{l)dte П,
о
т. е. функция F (х) является ограниченной (§ 1). Положим
F(x)co^c (X) е,1х.
А
Так как F'(x) = f(x), то на основании формул (10.1) и (10.2) имеем
Не (X) = а (X).
Отсюда необходимо должно быть
а(0) = 0
и
с(Х) = ^ при \ф0.
§ 11] СВЕРТКА ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 397
Следовательно,
F(%)c/2c(0) + 2a-7Tea"
X
X
где с (0) = М | J / (t) dt}.
о
Таким образом, если для п. п. функции f (х) ее среднее значение
а (0) = М {/ (х)} = 0
и интеграл F (х) ограничен (§ 7), то ряд Фурье интеграла этой функции
получается путем формального почленного интегрирования ряда Фурье самой
функции. В частности, спектр интеграла F(х) совпадает со спектром функции
f (х) (не считая А = 0). Замечание. Условие
