Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
отрезке [-х-\-а, -х-\-а-\-1] существует ее е-почти период т, т. е.
- х -I- а '¦ v т - х -j~ а -I.
Отсюда, полагая х' - х-\-х, получим
a sg х' a -j- /.
Отметим некоторые элементарные свойства почти периодических функций
(сокращенно-п.п. функций).
1. Если f(x) - п. п. функция, то д/(л;) + р (а, 3 - комплексные числа)
и f(ax-\-b) {а, b - действительные числа) также п. п. функции.
2. Если /(х) - п. п. функция, то Re/(x), 1т/ (х), |/(x)j и / (х) также
почти периодические функции.
1) Некоторые авторы здесь придерживаются терминологии "равномерная почти
периодическая функция" (см. [67]), чтобы отличить почти периодические
функции от обобщенных почти периодических функций. Так как в нашем курсе
обобщенные почти периодические функции не затрагиваются, то мы сохраним
термин "почти периодическая функция".
§ 2] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 369
Например, если т есть's-почти период п. п. функции f(x), то для ее модуля
|/(л:)1, очевидно, справедливо неравенство
! I/(* + *)!-I/W !!<;!/(*-И)-/(*)1<е
н, следовательно, \f{x)' есть также п. п. функция.
Укажем более общее свойство.
Теорема. Если Е - множество значений почти периодической функции f(x) и F
(у) - функция, равномерно непрерывная на Е, то функция F (/ (л:)) - почти
периодическая.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть г 0 произвольно и 8 _> 0 таково,
что
^(*/")!О при \у' - у"\<Съ
W, !Г?Е). (1'2)
Тогда, если т = т/(8), то в силу (1.2) имеем
\ F (f (х1)) - F (f (х)) 1<е при - оо<*<оо.
Таким образом, т есть е-почти период функции F(f(x)), что и доказывает ее
почти периодичность.
§ 2. Основные свойства почти периодических функций
Теорема 1. Почти периодическая функция равномерно ограничена на
действительной оси.
Доказательство. Пусть / (л:) - п. п. функция и /, = / (1) -
соответствующее число из определения 3 (§ 1) для 6=1. Так как f (х)
непрерывна на отрезке [0, /,], то
sup ! / (х) | = М со.
В силу замечания (§ 1) для любой точки х (- со, со) и ? -1 существует е-
конгруэитная ей точка х! =х-\- т [0, ]. Отсюда
I f(x)\^\f (лО \-\-\f (.г) - / (хг) I < М + 1 < со.
Следовательно, f (х) ограничена на (- со, со).
Теорема 2. Почти периодическая функция равномерно непрерывна на
действительной оси.
! - \
Доказательство. Пусть / (х) - п. п. функция и l = lf\ -~ ),
\ 6 j
где е0, произвольно.
Рассмотрим отрезок /--[- 1, / -j- 1 ] (рис. 55). Так как функция f(x),
будучи непрерывной на (- сю, с"), равномерно непрерывна на /, то
существует o = 8^yj]>0 (3<^1) такое, что для
370 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
любых точек хи х3?/, для которых \хх - х2|<^, справедливо неравенство
I (2.1)
Пусть теперь х и у - произвольная пара точек из (- оо, оо),
удовлетворяющая условию:
\Х -у s <8.
Для точки х найдется -^--конгруэнтная точка х' - х-\- т ? [0, /]. Тогда,
так как S I, то для у имеется ~-конгруэнтная точка
у'=уЛ-
-I-----------rfj f;; Hi_______________^
^ х' у' j х у х
- v
(I)
Рис. 55.
Учитывая неравенство (2.1), имеем f(x)-f(y)\^\f(*)-f V)! + ! f (х') - f
(У') 1 + 1/ (У') - f (У) 1 <
<i + i + T = '*
Следовательно, f (х) равномерно непрерывна на (- оо, оо). Следствие 1.
Дпя каждого е0 множество в-почти пери-одов почти периодической функции f
(х) содержит относительно плотное множество отрезков фиксированной длины
7) = т)(е), т. е. существует число L = L(е) такое, что на любом отрезке
[а, а -|- L] имеется подотрезок [а, a -j- -rj], все точки которого ? (Е
[*" являются в-почти периодами функции f (х).
Действительно, пусть т] = 8 , где 8 определяется из сеой-
ства равномерной непрерывности функции f (л:). Положим
L = 1 (д) +7]>
где / {^j - число из определения п. п. функции (§ 1).
Рассмотрим произвольный отрезок\а, а -|-?]. Из определения п. п. следует,
что существует ~-почти период т ? \^а + -¦, а-(-L - 4j-j.
Тогда
- -3-, т + cr [a, a~\~L] (рис. 56). Отсюда при любом
§ 31 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ 371
? t - у, т Jr у , учитывая неравенство | ? - т | 8 по- ¦
лучим
|/(jC + 5)_/(jC)K|/(^ + 5)_/(jC+,)| + |/(jC + ,)_/(jC)|<
_______? I ?
<2+-2=е-
Таким образом, отрезок [а, а-)-т(], где а = т-^, целиком со-
стоит из s-почти периодов функции / (х).
а a+j г-r+S a+L-%
1 та ёЖЖ г 4 ЙЗ 1 *-
Щ)
Рис: 56.
Следствие 2. Для почти периодической функции f(x) для каждого е О
существует относительно плотное множество г-почти
периодов т, являющихся целыми кратными числа i] = ч] (е).
§ 3. Арифметические действия с почти периодическими функциями
Лемма 1. Для двух почти периодических функций при любом е 0 существует
относительно плотное множество их общих s-почти периодов.
Доказательство. Пусть f (х) и g(x) - п. п. функции и
= 8.2=S^yj - числа, характеризующие их равномерную
непрерывность (§ 2).
Положим
T) = min(81, 82).
В силу следствия 2 (§ 2) существуют числа = и Ц -
= ^(т) такие> 4X0 кажДый из отрезков [а, а -{- /, ] и [а, а-j-^l
будет содержать соответствующие почти периоды xf и zgt кратные числу т].
Если положить / = тах(/ь /4), то на каждом отрезке [а, а-\-1] найдется
