Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
х Т-* оо 1 J
5 121
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
407
так как если а = 0, то (§ 9, лемма 1) F(x) = 0 и, значит,
F(0) = M{ |/(0|*}= 0,
отсюда /(*) = 0, что противоречит предположению.
Из формулы (12.14) получаем т
-1- J |F(jc) |3dx при 0.
Так как (§11, лемма 1)
т
Рт{х) = -^г \ f(x + t)f(t)dx=ZF(x)
о
при Т-*-оо и F (х) ограничена, то
| FT(*) Р | Т7 (*) |3 при Т оо,
X
и, следовательно, число Т0 можно выбрать столь большим, чтобы при Т^>Т0
имело место неравенство
т
4* [ I FT(x)\Ux^^.
Рассмотрим функцию
т
ФТ.(х) = -\г J h(X+t)Wdt,
где
fT(x) = f(x) при 0<*<2Т и }т(х-\-2Т) = !т{х) (рис. 63).
Легко видеть, что функция Фг(*) непрерывна и 2Г-перио-дична. Полагая
408 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
для 2Г-периодической функции (r)7-(a')> получим ее обычный ряд Фурье:
Фт-(х) сл> 2 Сг([х) е 1*х.
V-
Вводя обозначения
т
"Ф) = 4- ^ fixW^dx,
0
27
РгСи-) = 2^ ^ f(x)e~ilLlcdx
и используя 27-периодичность функции Фт(х), для ее коэффициентов Фурье
с7'([а) получим следующие выражения;
2 Г
ст(\^) = 2^г ^ Ф T(x)e~l[LX dx = о
27 Т
= 2Т* \ dx I, h(x + T)J(t)e-iiLX dt =
б О
Т 2 7"
= 2у2 J W)eiiLldt \ M*+fK'>U+°^ =
О о
Т 2 Г+/1
= 2р ^ T(t)eivJdt \ fT{x)tri*xdx = о /
7 27"
= 2ji ^ JU)eiiLtdt jj f(x)e~iiLXdx = аг(к-)-Рг(к-)-
О *0
Для непрерывной периодической функции Ф7-(л:) имеет место известное
равенство Парсеваля:
2 7
^ \Фт(х)\Ых=^] iСГ(к-) Iя = 21 *7- (К-) 1аI Р7-(К-)I*-
0 I* I1
Так как согласно условию теоремы функция f(x) почти периодическая с
нулевыми коэффициентами Фурье, то в силу леммы 2 при достаточно большом Т
равномерно по jx справедлива оценка:
Mi*) К(r) (Т>т"),
§ 12] ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 409
где е^>0 произвольно мало. Далее, так как рИр-) представляет собой
коэффициенты Фурье ограниченной кусочно-непрерывной ^Г-периодической
функции }т{х), то выполнено неравенство Бесселя:
гт
У 1Мр) 12^2Г s
н- о
Поэтому
2 |"7-WriPrW|s<e4
н- н-
и, значит,
2Г
± J |(r)r(*)|*d*<eT*.
о
Отсюда и подавно
Г
i § |(r)r(jc)'|"d*<eT* при Т>Т0. (12.16)
о
С другой стороны, при 0 <^х<^Т и 0<^<^Г имеем 0<^x-{-t<^2T и,
следовательно,
т т
Фт(х) = -±г ^ fr(x+t)ffidt = -L ^ f(x+t)W)dt = Fr(x).
Отсюда на основании неравенства (12.15) получаем т т
jj \<bT{x)\'dx=±r | \Fr(x)\*dx^-*r npHr>7V (12.17)
Неравенства (12.16) и (12.17) противоречивы, если выбрать е достаточно
малым. Таким образом, теорема единственности доказана.
Следствие. Две почти периодические функции, имеющие одинаковые ряды
Фурье, совпадают между собой.
Замечание. Если f (х) не п. п. функция, то функциональное уравнение
Nl\f(x)erax} = 0 (-оо<Х< + оо)
может допускать нетривиальные решения. Например, если f(x) абсолютно
интегрируема на [0, оо), т. е.
ОО
^ \f(x)\dx<^со,
о
410 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
то для всякого действительного X, очевидно, имеем
М {/ (дс) e~iXx} = lim [ f (х) е а* dx = 0.
Г-со J
Отметим один важный вывод из теоремы единственности. Теорема. Если для
почти периодической функции f (х) ее ряд Фурье
f(*jco2 Апеа"х (12.18)
П
сходится равномерно, то сумма его равна данной функции, т. е.
/(*) = ? Аяе*п*. (12.19)
П
Доказательство. Как известно (§ 9, теорема 2), равномерно сходящийся
тригонометрический ряд (12.18) является рядом Фурье своей суммы S (я), т.
е.
S(x)ca> 2 Ап еап*.
П
Таким образом, функции f(x) и S(x) имеют одинаковые ряды
Фурье и, следовательно, в силу теоремы единственности они
совпадают. Отсюда вытекает формула (12.19).
Следствие. Если для почти периодической функции f(x) ее ряд Фурье
f(x)r^'^iAnea-x
П
сходится абсолютно, т. е.
SM- к °о,
п
то справедливо разложение
f(x) = ^Aneix-x.
П
§ 13. Равенство Парсеваля
Теорема 1. Для всякой почти периодической функции / (х) с рядом Фурье
f(x)cA>jiAneanX
П
имеет место равенство Парсеваля:
2|лп|'=м{|/(*)п. (13.1)
§ 13] РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ 411
Доказательство. Рассмотрим свертку (§11)
F{X) = lA{f{X + t)m)^\An\^.
Так как на основании неравенства Бесселя (§ 8) им-
2ия.|"^м{|/(*)п<оо,
п
то ряд Фурье свертки F(x) сходится равномерно и, следовательно, имеет
место равенство
' я
Полагая здесь х = 0, очевидно, получим равенство Парсеваля (13.1).
Замечание. Если модули коэффициентов Фурье а (к) рассматривать как
величины проекций п. п. функции / (*) на орты ei = e'lx, то равенство
Парсеваля представляет теорему Пифагора в пространстве п. п. функций П.
Определение. Говорят, что последовательность п. п. функций f,(x), /s W, •
¦ •, /в(я),... сходится в среднем к предельной п. п. функции /(*), если
М{ I/"(*) - /'(*)? }-> О ПРИ п->оо.
Аналогично ряд
2 fn М
П=\
сходится в среднем к F (х), если последовательность частных сумм
s"(*)=2M*)
v=l
сходится в среднем к F (х).
Теорема 2. Для всякой почти периодической функции /(я) ее ряд Фурье
сходится в среднем к / (*) (при любом порядке слагаемых). Доказательство.
Для отрезка ряда Фурье
П
*=i
согласно (8.4) и (13.1) имеем
М{ \f(x) - Г } =.М { | / (х) |М - 2 I А, |*<в,
v=l v=1
если n>N (е). А это и значит, что ряд Фурье функции /(*) сходится в
