Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 96

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 121 >> Следующая

является равномерным пределом некоторой последовательности
тригонометрических полиномов (см. § 16).
Следствие 2. Сумма равномерно сходящегося на (-оэ, оэ) ряда почти
периодических функций есть функция почти периодическая.
Теорема 2. Если почти периодическая функция /(х) имеет равномерно
непрерывную на действительной оси - оэ <^х<^оо производную f (х), то эта
производная также почти периодическая.
Доказательство. Пусть
/(х) = lim Рп{х),
П " (л)
Рп(х)=^еаьх
/' (х) - lim
/ (х -f- h) -/ (х)
h
Полагая h - --{n = 1, 2, ...), очевидно, имеем
п
/" .
Функции
376 ПОЧТИ ПЕРИбДИЧР.СКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
(п= 1, 2, ...), представляющие линейные комбинации п. п. функций,
очевидно, почти периодические. Имеем
1 1
/' (х) ~ fn (X) = П [С [ (х) dt - ij f (х +1) dt] =
= n\[r(x)-r(x + t)ldt. (4.2)
U
Так как функция f (x) равномерно непрерывна на (- со, со), то существует
8 = 8(е)'>0 такое, что
\f'(x-\-h) - fW]<? при |/г | < 8.
Поэтому из формулы (4.2) при п^> N = ь имеем
А 1
I /' (х) - /" (х) | п (] /' (х) - /' (х +1) I dt < sdt = &,
О о
fn(x)ZXf' (х).
X
Отсюда в силу теоремы 1 функция /' (х) п. п.
§ 5. Интеграл почти периодической функции
Теорема. Интеграл
F{x) = \ f (t) dt
ха
почти периодической фунмщи f (х) является функцией почти периодической
тогда и только тогда, если он ограничен, т. е. если
sup | F (х) | со.
- сс <х со
Замечание. Эта теорема была доказана рижским математиком Болем (см. [68])
дл^ более узкого класса почти периодических функций с конечным базисом
частот (так называемых квазипериодических функций) и обобщена Бором (см.
[66]) на общий случай п. п. функций.
Доказательство. Так как п.п. функция ограничена (§ 2), то необходимость
условия теоремы тривиальна.
Докажем достаточность условия теоремы, причем, очевидно, можно
предполагать, что функции f (х) и F (х) вещественны.
§ 5] ИНТЕГРАЛ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 377
1) Очевидно, F (х) ^ С (- со, -j-oo). Пусть F (л-) ограничена и
m=iniF(x), М - sup/-^*),
Л' Л'
причем можно допустить, что т<^М.
Покажем, что для F (х) на оси (- оо, оо) существует относительно плотное
множество пар точек {хи х.,\, реализующих колебание функции
osc F (х) = М - пг
- СО < х < -f СО
с точностью до s. Действительно, по свойству нижней и верхней
граней функции существует пара точек (гь г.2) (Z (-°°) такая, что
f(zi)<m-fy, /?(га)>М - (5.1)
где е^>0 произвольно (рис. 57), и пусть
d = |?i - га!, г = гтпп (гь га).
Рассмотрим пару сдвинутых точек
¦^1 =: 2l-j-Хъ == 2-2 -)- х, (5.2)
где т = тД-^ и jjfi - xi\ = d. В силу почти периодичности
функции /(х), точки т, а следовательно и точки х = г-)-т, образуют
относительно плотное множество, и, следовательно, существует число l =
такое, что всякий отрезок [а, а-)-/] будет
содержать точку х, конгруэнтную г. Поэтому на любом отрезке [а, а L]
длины L = / -j- d будет содержаться пара точек \хи х.,}
378 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
и, таким образом, эти пары точек образуют относительно плотное множество.
Далее, имеем
F (*а) - F (*j) =
= [F(2,)+ fit) dti - [F(zt) + fit) dt] =
%2 ?!
= F (г,) - F (г,) + \{f(t+,)-f (/)] dt.
Отсюда
F (xs) - F (.v,) =
т. e.
[M-FibH + lFixJ-mX^. (5.3)
Так как числа M - F (х%) и F {хг) - т неотрицательны, то из неравенства
(5.3) получаем
M-F(Xi)<C~, Fix^-mC-, (5.4)
т. е. пара точек {xlt х2] реализует колебание функции oscf{x) =
X
= М - тс точностью до е, причем на каждом отрезке [a, a-\-L] длины L,
зависящей только от s, найдется по меньшей мере одна такая пара точек.
2) Пусть теперь т-г= xf (^j. Оценим снизу и сверху разность f (* + т)
- F{x).
Для оценки снизу выберем на отрезке х-у, * + у *i, для которой выполнено
второе из неравенств (5.4):
F (*i)0 + 4r>
\х -.
F{x-\-i) - Fix) =
точку
причем, очевидно, |х - Тогда получим
= ['?(*. + '0 + { fit)dt]-[F(Xl)+\ fit)dt] =
*1 + т Х-,
X
= f (* + ,) -/4*0+$ [f(t + 4)-f(t)]dt>
*1
L e
= <5-5)
ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ 379
L
Аналогично для оценки сверху выберем на отрезке х - у, х -f- yj точку xit
для которой выполнено первое из неравенств (5.4):
F (*,) > М - у,
где j х - 1 у • Имеем
- F(x) =
= [F (*, + -Z) +'*5 / (t) dt) - [F (Xi) + '5 / (0 dt] =
x2 + t x2
= F(Xi + 4)-F(Xi)+\[f(t + 4)-f(t)] dt<
X-2
+ y -y = s. (5.6)
Из односторонних оценок (5.5) и (5.6) находим |F(jc + t) - F(x)|<e
для любого х ?(- со, со).
Таким образом, т = т/7(е) и функция F (х) п. п.
Теорема доказана.
Следствие. Если f (х) - почти периодическая функция и
^f(t)dt = ax-\-<? (t),
Хо
где а - постоянная, tp (t) - ограниченная функция, то tp (t)-почти
периодическая функция.
§ 6. Теорема о среднем значении почти периодической функции
Теорема 1. Для каждой почти периодической функции / (jc) существует
конечное среднее значение
М
1
{/}= lim f(x)dx.
Г->со J
Доказательство (см. [66]). 1) Выведем сначала оценку для смещенного
интеграла
а+ Т
\ f (х) dx.
380 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Пусть е^>0 произвольно и l = - длина, соответствующая
числу Пусть, далее, т = xf (4-j (= [а, а -]- /] почти период
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed