Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 104

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 121 >> Следующая

среднем к f(x).
412
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ДОП.
§ 14. Теорема аппроксимации
Как было доказано выше (§ 2), предел равномерно сходящейся
последовательности тригонометрических полиномов есть функция почти
периодическая. Справедливо и обратное положение, что всякую п. п. функцию
/ (л:) можно рассматривать как предел равномерно сходящейся
последовательности тригонометрических полиномов, т. е. п. п. функции
допускают равномерную аппроксимацию тригонометрическими полиномами с
любой степенью точности. Оригинальное доказательство этой теоремы
аппроксимации Бора, опирающееся лишь на определение п. п. функции, было
дано Н. Н. Боголюбовым (см. [70]). Мы здесь приведем доказательство Н.
Винера (см. [71], [67]), основанное на применении равенства Парсеваля (§
13).
Теорема аппроксимации. Если f (х)- почти периодическая функция, то для
всякого е 0 существует конечный тригонометрический полином
N (s)
Р*(х)= ^]cn(s)eanxt
п= 1
удовлетворяющий неравенству
sup | f(x) - Р* (х) | < е,
X
где в качестве \п могут быть взяты показатели Фурье функции
fix).
Доказательство. Пусть
g ix) = sup \f(x-\-t) - f (t) |.
t
Функция g (x) - почти периодическая.
В самом деле, учитывая, что
| sup ср (t) - sup sup I cp (t) - <|> (t) I,
t i t
при любом действительном h имеем .
| g (x -j- A) - g ix) I = | sup I f (x + h + 0 - f it) I -
- sup |/(* + *) - /(011 "?
< sup j| / (*+/z + o - 7 (01 - I / (*+ 0 - / (01| < -t ' 1
<sup|/(*-f /1 + 0 - /(* + 01.
| g(* + A) -g(*)Kg(A). (14.1)
§ 14] ТЕОРЕМА АППРОКСИМАЦИИ 413
Отсюда, так как функция f(x) ограничена и равномерно непрерывна на (- оо,
оо), то g(h)^>-g(0) - 0 при Н-+ О и, следовательно, g (х) также
ограничена и равномерно непрерывна на (-оо, оо). Кроме того, из
неравенства (14.1) вытекает, что всякий е-почти период функции f (х)
является е-почти периодом функции g(x) и, таким образом, эта функция
почти периодическая.
Пусть е^О произвольно. Рассмотрим функцию
1 - 2-f при 0<у^ у,
0 при г/>4-
?(*/) =
I U Т7ПЧ _
(рис. 64).
Так как функция <р (у) равномерно непрерывна на [0, оо), то сложная
функция <р (g (х)) является почти периодической (см. § 1). Функция
?(&(*)) неотрицательна, и так как <р (g (0)) = <р (0) = 1, то У (ё (*)) Ф
0- Поэтому ее среднее значение
М{ TfeW)) = F>0.
X
Положим
¦ Ф (*) = ~ ? (§ (*));
г
тогда, очевидно, <]>(*) - п. п. функция и
M{4(x)}=±M{9(g(x))} = 1. (14.2)
* Г Л
Рассмотрим функцию
ft(x) = М { / (Z) ф (х - 0 }. t
Используя равенство (14.2), имеем
I / (х) - /. (х) | = I / (х)М { ф (х - 0 } - t
-М Ш<Ж*-0}1 = |М{ [f(x)-f(t)]q(x-t)}\^ t t
^M{\f(x)-f(t)\.y(x-t)}. (14.3)
Но согласно определению функция ф (х - t) = i- <р (g (х - t))
ова, что если ф(х- t) ф 0, то ^
* 0 == (r)ир \ f (х t -)- и) f (и) | =
U
= sup I / (X -1- и) - f (t -)- и) I <4-.
414 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Отсюда при и = 0 будем иметь
I/(*)-/(*) К^-
Таким образом, из неравенства (14.3) получаем
l/W-/.WK{MH(J(-0} = {. (14.4)
Для п.. п. функции f (х) рассмотрим ее ряд Фурье / (*) сл 2 Лпе'х"*.
Обозначая через у произвольно малое положительное число, на основании
неравенства Бесселя (§ 8) выберем N = N (т\) так, чтобы
Пусть
Так как
2 1А,1*<ч.
п=ЛЧ-1
п=\
f (х)--$N (х) ~Ь Rn(X)-
Rn(x) сл> 2 Aneinx,
n=X+i
то, используя равенство Парсеваля, получим
СО
М { | Rn (х) Is } = S I Ап?<П- (14.5)
л=ЛГ+1
Положим
P. (X) = М { SN (t) Ф (х - 0 } =2 ЛпМ { Ф (0 е~ап' \ • А*.
t Я=1 '
Очевидно, Р, (0 есть тригонометрический полином, причем Х" - показатели
Фурье функции f (х).
Имеем
Ш-^Ю=М{/(0Ф(*-0}-М{5"(*Ж*-0 } =
= М{/?"(*)ф(*-*)}.
ТЕОРЕМА КОМПАКТНОСТИ БОХНЕРА
415
Отсюда, применяя известное неравенство Коши-Буняковского (§ 8) и
используя неравенство (14.5), получаем
\f.(x)-PAx)\^VM{\RN(t)\*}VtA{^(x-t)}<:
(14.6)
t z
если выбрать
(/)}'
Из неравенств (14.4) и (14.6) находим
l/W-^WKE при - оо<Х + оо.
Теорема аппроксимации доказана.
§ 15. Теорема компактности Бохнера
Определение. Функция /(*)??(-°°, °°) называется нормальной, если из
каждой бесконечной последовательности ее сдвигов { f(x-\-hn) } (hn е (-
оо, оо)) можно выделить равномерно сходящуюся на всей действительной оси
подпоследовательность. Иными словами, функция / (я) нормальная, если
семейство функции if(x + h)} (-оо<[Л<[оо) компактно в смысле равномерной
сходимости.
Всякая нормальная функция / (я), очевидно, ограничена. Действительно,
если существует последовательность {хп} такая, что
I / {Хп) I ->¦ оо, то из последовательности { f (х-^ хп) } нельзя
выбрать сходящуюся при х = 0, а следовательно и на (-оо, оо),
подпоследовательность.
Пользуясь понятием нормальности, Бохнер (см. [72]) дал другое определение
п. п. функции, полезное для приложений.
Теорема Бохнера. Непрерывная функция является почти периодической тогда и
только тогда, когда она нормальная.
Доказательство (см. [67]). 1) Докажем сначала необходимость этого
условия., т. е. мы предположим, что функция /(х) почти периодическая, и
докажем, что она нормальная. Рассмотрим произвольную последовательность
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed