Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
М {/(*)}= 0
необходимо для почти периодичности интеграла F (х). Однако, как
показывает приведенный ниже пример, оно не является достаточным для почти
периодичности этого интеграла.
Пример. Функция
03 lJL
I
п= 1
почти периодическая, причем так как свободный член ее равен нулю, то
Mj/(x)} = 0. Однако ее интеграл
F М = I / (0 dt
о
не является п. п. функцией.
Действительно, если бы интеграл F (х) П, то для его ряда Фурье мы бы
имели
03 <?
F(x)zac + J -jen\
п= I
что невозможно, так как коэффициенты Л" = -|- этого ряда не стремятся к
нулю при п-у со (см. § 9, теорема 1, следствие).
§11. Свертка почти периодической функции
Пусть / (*) Е II, тогда при любом фиксированном х ? (- со, со) функция
<?*(*) = f(x + t)W),
398 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
где f(t)- функция, сопряженная f (t), является почти периодической,
Следовательно, существует
F(x) = М (0} = М {/ (х +1) Щ},
t (
т. е.
7
F(x)= lim '\f(x + t)W)dt. (11.1)
Г-со •>
Функция F (х) называется сверткой функции f (х).
Рассмотрим "неполную свертку".
г
FT{x)=\\f(x + t)W)dt (Т> 0). (11.2)
о
Лемма 1. Для каждого Т^> 0 неполная свертка FТ(х) почти периодической
функции f (х) почти периодична по х, причем
FT(x)ZtF(x) ПРИ Т -* со, (11.3)
X
где
F(x) = tA{f(x + t)f(r)}.
t
Доказательство. 1) Докажем сначала, что FT(x) равномерно непрерывна по х
на (- со, со). Действительно, пусть
Г = sup 1/(01 t
и 8 = 8(е)>0 таково, что
!/(*') - /(-О i (r) при |х' - х" | <8.
Тогда при |/i|<[8 на основании формулы (11.2) имеем
! Ft (x-\-h) - FT (х) | sS
т т
<1$ \ f(x + h + t)-f(x+t)\\W)\dt^er. J J йК = еГ, (11.4)
и о
что и доказывает равномерную непрерывность функции FT(x).
Из неравенства (11.4) вытекает, что каждый ^"почти период
функции f (х) является е-почти периодом функции Fт(х). Следовательно, FT
(х) - почти периодическая функция.
2) Для каждого я (^ (-со, со) имеем
ф At) = f(x + t)W)
и
\?At)\ = \f(x + t)\\T(t)\^T\
5 11]
СВЕРТКА ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
399
Пусть т - любой ^,-почти период функции f (х). Тогда
I ?х (t -f т) - ?Х (0 \ "? 1 / (X + 14- т) / (t -f -) - f (X - t) f
(t) \ =5
^ i f (x "Ь t "Ь T) f(x-\-t) I I f (t t) 1 -)- i
является s-почти периодом функции Следовательно, для
почти периодического семейства {<рЛ- (0} существует положительное число-
/(е) такое, что любой отрезок [а, а1(e)] длины I (г) содержит по меньшей
мере один е-почти период для каждой функции yx(t) (-оо<[л:<[оо). На
основании усиленной теоремы о среднем (§ 6, неравенство (6.6)) для каждой
п. п, функции <?x(t) будем иметь
что равносильно соотношению (11.3).
Лемма 2. Если f (х) почти периодична, то для почти периодической функции
как равномерный предел п. п. функций FT (х) есть функция почти
периодическая. Следовательно, существует
Далее, на основании усиленной теоремы о среднем (§ 8), имеем
Таким образом, каждый почти период
г
при
Ту 8/(с) г
М {М {/ (X + t) / (*)}} = м {М {/ (x + t)f (0}}. (11.5)
X t
400 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Поэтому М {f(x + 0/(0} почти периодична по t и существует
X
M{M{/(* + o/70}}-
i х
Докажем теперь, что выполнено равенство (11.5). Так как функция /(* +
0/(0 непрерывна по совокупности переменных х и t, то при любых конечных
Т^> 0 и Х^>0 имеем
х
J_
X о
§ dx-~ § f(x + t)f(t)dt = y J dt± J /С* + 0/(0dx. (11.6)
Ho
X x-\-t
~ ^ f(x + t)TW)dx = jTf)~ § / (X) dx -
b
^/(0M{/W}=M{/(^ + 0m!
t X X
при Х->со. Следовательно, в левой части равенства (11.6) можно совершить
предельный переход при X оо под знаком интеграла, и мы получим
х т г х
lim i ^ dx ¦ ^ / (х + 0 / (0 di = i dt • lim { f (х1) f (t) dt
x^°° и о ь' Ь
или
7 7
^{~^f(x + t)W)dt}^~^fA{f(x + t)fif)}dt. (11.7)
Так как в силу леммы 1 т
\-\f(x + t)W)dt^K{f(x + t)J(t)} при оо,
о х '
то, переходя к пределу при Г-"-оо в соотношении (11.7), на основании
свойства 7) среднего значения (§ 8) окончательно будем иметь
м {м {/ (х+0 m} = М {М {/ (х + о /ТО}},
X t t X
что и требовалось доказать.
§ 111 СВЕРТКА ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 401
Теорема. Для всякой почти периодической функции f (х) ее свертка F (л:)
есть функция почти периодическая, причем
M{F(*)} = |M {/(*)} |1 (11.8)
Доказательство (см. [66]). То, что свертка
F(x) = M[f(x + t)ffi}
I
есть функция почти периодическая, следует из того (как уже было упомянуто
в лемме 2), что свертка является равномерным пределом п. п. неполных
сверток FT (х) (лемма 1). Впрочем, почти периодичность свертки легко
доказать также непосредственно. Далее, используя перестановочность
средних М и М (лемма 2)
X t
и усиленную теорему о среднем (§ 8), имеем M{F(x)} = M{M{f(x + t)f(ty}} =
M{M{f(x + t)f(i)}} =
X X t t X
= М m М {/ (х + t)}} = М {Ш м {/(*)}} =
/ X t X
=М{/(*)КЩШ} = |М {/(*)} Ia.
X t X
Следствие. Если для почти периодической функции /(х) ряд Фурье есть
/ (х) сл> ^ а (X) eiXx, х
то ее свертка F (х) имеет следующий ряд Фурье:
F(x) сл> ? I а (X) | Vх*. (11.9)
х
Действительно, так как
а (Х) = М {/(*)*-"*},
X
ТО
М {F (*) e'iXx\ = М {М {/ (л: + t)Ще1Хх}} =
