Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
х X t
= М {Щеш М {/ (х +1) е~х= М [Щ <?xt • М {/ (х) <riX*}} =
t X t X
- a (X) -~a(k) = | а (X) |a.
402
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ДОП.
Замечание. Аналогично доказывается, что если f (я) и g (х) - п. п.
функции, то их свертка
есть функция почти периодическая.
§ 12. Теорема единственности
Как известно, две непрерывные периодические функции, имеющие одинаковые
ряды Фурье, совпадают между собой, т. е. такие функции однозначно
определяются своими коэффициентами Фурье. Докажем, что эта теорема
единственности верна также для почти периодических функций. Так как для
разности п. п. функций их коэффициенты Фурье равны разностям
соответствующих коэффициентов Фурье данных функций, то теорему
единственности можно сформулировать в следующем виде: не существует
отличной от тождественного нуля почти периодической функции, все
коэффициенты Фурье которой равны нулю.
Теорема единственности нетривиальна, и доказательство ее довольно сложно.
Мы приведем здесь незначительно видоизмененное доказательство Бора - де
ла Валле-Пуссена (см. [69]). Предварительно понадобится несколько лемм.
Пусть f (х) - п. п. функция и
Лемма 1. Функция аТ(Х) равномерно мала при ТТ00 и | X I оо, т. е. для
всякихе^>0ы Т0^>0 существует Л = Л (е, Т0)^>0 такое, что
ф(0=М{/(* + 0?(0}
Т
а (X) = М {/ (*) е ах} = Hm jj / (*) е~ах dx (12.1)
- ее коэффициенты Фурье. Положим
т
aT(\) = -^r f(x)e axdx (0<Г^схз), (12.2)
о
где ат(Х) = а(Х).
т
(12.3)
о
при Т,,<^Т^со и IXI > А.
Доказательство. Выполняя замену переменной
х - х' -|- у (X Ф 0)
§ 121 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 403
в интеграле (12.2), будем иметь
I с Х / \ ~'Х(х' + т)
<hW=~r у f[*+T)e dx!~-
те
_Т
г-т
т
J f[x -\-±>je-**dx.- (12.4)
Складывая равенства (12.2) и (12.4), находим (рис. 62)
7
2ат (X) = - 4- $ [/ (х +- f (*)] dx +
о
т о
+ Т S ------\r f(x+l)e-**dx. (12.5)
Т - - -
\ X
Пусть
Г = sup 1 / (лг) |
X
и 8 == 8 (s) 0 - число, характеризующее равномерную непрерыв-
Я г я
X Л
---1----- ;_____________________________
Т х
Рис. 62.
ность функции f(x). Тогда из равенства (12.5) при |Х|]> и Г>Г0 имеем
ТС
404 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Следствие. Из (12.6) при Т-*¦ со получаем
|Ооо(Х)| = |а(Х) |==Ss при |Х|>Л.
Лемма 2. Пусть все коэффициенты Фурье почти периодической функции f (я)
равны нулю, т. е.
а (X) = М {/ (я) еПх} = 0
при - оо X оо. Тогда для всякого е 0 существует Т0 = = Т'о (е) 0
такое, что
т
IM*)I= \^r\f(x)e-iXxdx |<S (12.7)
о
при Т^>Т0 и X (^ (- оо, оо).
Доказательство. В силу леммы 1 для заданного е^>0 можно выбрать число Л
так, чтобы
1ат(^)1<0 ПРИ Т^1 и 1X 1 ]>Л. (12.8)
Поэтому для больших 1X ] неравенство (12.7) выполнено.
Пусть теперь |Х|<;Л. Так как
т
а(Х)= limaT(X)= lim [ f(x)e~a*dx = 0,
Г -*¦ оо Г -> оо J
то на основании усиленной теоремы о среднем (§ 6) для всякого
фиксированного X ? [ - Л, Л] существует Те(Х)^:1 такое, что
Т+а
- § f(x)e-axdx|<-|- при TSsT.fX),
где а? (- оо, оо) произвольно. Для точки X рассмотрим ее окрестность
4ГГе (X) где Г = sup | / (дс) |.
X
Заметим, что для любых действительных аир имеем
121
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
405
Поэтому, если X' ? 1Ъ то для каждого Н ? [ГЕ(^)> 2ГЕ(Х)] получаем
Hfa
Н+а
f{x)e-x'xdx\= jj f (лг) e~iXx ¦ e~l (Х_Х) * dx
а а
Н+а
Ij- ^ f [x) e~lX* -e~iX ~x)adx -|-
Н+а
+
н
f(x)e~nv[e
i\v га~Ц\'-\)х
-НУ-a)] rfx
<
так как
¦ _L ; 2
И
+ Г-
4Г7',(Х)
Н--
TAV
2.
(12.9)
Пусть теперь Т~^>Т,(К) и k 5=0 - целое число, удовлетворяющее условию:
2кТе (к) <2k+iTe (X),
Тогда, полагая Н = -, где п = 2й, будем иметь
Тг0-)^Н<2Тг0-).
Отсюда, представляя ат(У) в виде среднего арифметического, в силу
неравенства (12.9) получим
пН п vH
\аг(У)\= \^г $ /(х)е~iXxdx| = -L| J \ f(x)e~ix'xdx
0 v=l (V-1 )Н
п vH п
S f(x)e-iX'xdx |< -i- 2 Е = Е. (12.Ю)
v=l [у-\)Н
v=l
406 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
если только Х'?/х. Таким образом, для каждого X ? [-Л, Л] существует
окрестность /ь для любой точки которой X' ? /, при Т^>7\(Х) выполнено
неравенство (12.10). Система {1Х\ покрывает отрезок [-Л, Л]. В силу
леммы. Гейне-Бореля можно выбрать конечную систему /Xl, /Xq, ..., /х ,
также покрывающую отрезок [- Л, Л]. Полагая
Т0(в)= max Т.(Х*)^1, (12.11)
*=1....N
находим, что для любой точки Х?[- Л, Л] выполнено неравенство
т
1М*)| = |4- \ f(x)eaxdx <? (12.12)
о
при Т>Т0 (е).
Отсюда с учетом неравенства (12.8) получаем полное дока зательство леммы.
Теорема единственности. Если все коэффициенты Фурье почти периодической
функции f{x) равны нулю, то эта функция тождественно равна нулю, т. е. из
условия
а (X) = М {/ (х) е~а*} = 0 (12.13)
(- оо<^Х<^оо)
следует, что
f(x) = 0 при - оо х -)- °о.
Иными словами, п. п. функция f (х), ортогональная ко всем чистым
колебаниям ех = еа*(-оо<^Х<^оо), тождественно равна нулю.
Доказательство. Предположим противное, что f (х) ф 0, т. е.
sup | / (х) | = Г > 0.
X
Рассмотрим свертку (§11)
т
FW = M{/(H0l = В \f(x + t)mdt],
которая также является п. п. функцией.
Имеем
т
M{|F(*)|2} = lim 4- [ | F(х) |2йд; = а>0, (12.14)
