Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
f(x-\-hi), f(x-\-hi), • • •, / (х -f h"),...,
где h"(n=l, 2,...) - действительные числа. Так как функция /(х)
ограничена (§ 7), то эта последовательность также ограничена. На числовой
оси - со<^х<^со возьмем счетное всюду
416 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
плотное множество точек хи х2)... (например, множество рациональных
чисел). Из ограниченной числовой последовательности
f (*i + hi), f (*j -f- /ia), ..., hn),...
выберем сходящуюся подпоследовательность
f(xi-{-hn), f(xi -\-кп),..., f (xi -\-hin),...
Далее, из ограниченной числовой последовательности
f{x%-\-hn), Цхъ~\-И,п)..... f {Xi-\-hin),...
выберем сходящуюся подпоследовательность
f (Xi -j- ?hi), f (*3 -j- Къ),- ¦ f (xt -j- Kn),- • •
Этот процесс продолжаем неограниченно. Тогда диагональная функциональная
последовательность
f(x_-{-hii), f (x-^-fun),.f (хhnn),... (15.1)
будет сходиться в каждой точке хт (т = 1, 2,...) нашего всюду плотного
множества.
Действительно, согласно построению члены последовательности
fiXm + hn), fiXm + hn),..., f(xm -)- hnn),... (15.2)
при n^tn входят в состав сходящейся последовательности
f (хт -j- Лт]), f (хт -)- /imj), • • •, f (хт -|- hmn),...
и, значит, последовательность (15.2) сходится.
Докажем, что диагональная последовательность (15,. 1) сходится равномерно
на всей действительной оси (-оо, оо). Пусть е^>0 произвольно. Согласно
определению п. п. функции существует
число 1 = 1 (^j такое, что каждый отрезок [а, а-\-1] длины I
содержит хотя бы один почти-период т = Далее, пусть
8 = 8 - положительное число, определяемое на основе равно-
мерной непрерывности функции f(x). На отрезке [0, /] из точек всюду
плотного множества {хт} построим конечную 8-сеть:
^1--Xjjilt ---Xjjig, . . ., -Xmsj
где
0<*/-n~^<8 (/=1. 2.... s-1; ?i<8, ^>/-8).
15]
ТЕОРЕМА КОМПАКТНОСТИ БОХНЕРА
417
Так как диагональная последовательность (15.1) сходится в точках сь ...,
и число их конечно, то равномерно для совокупности этих точек выполнен
критерий Коши, т. е. существует N - N такое, что
I / (?у + hpp) - / (Еу + hqq) | <^ (/=1,2,..., s),
если только р, q^> N.
Пусть теперь х - любая точкаиз (-оо, оо) и х'? [0, /] есть
-^--конгруэнтная ей 'точка (§ 1), т. е. х' - х -f- т '. Обозначая
через (^^[1, s]) ближайшую к х' точку В-сети, при р, q^>N будем иметь
j / (х hpp) - / (х -f- hqq) | С | / (x -j- hpp) - / (xr -f- hpp) | -j-+1
/ (x' + hpp) - / (Sft + App) I + | / (5* + App) - / (5* + A99) I -j-+ I /
(5* + A99) - / (xr -j- /i99) | -f-
+ I / (^ + hqq) - / (x -j- /г99) | 's-1-5-1 5 1 5-1~ "5Г ? ¦
Так как число N не зависит от е, то отсюда следует, что
последовательность { f(x-\-hnn) } равномерно сходится на (-оо, оо) и,
таким образом, /(х) есть нормальная функция.
Заметим, что предельная функция
ср (*) == lim / (* + hnn),
я-> со
очевидно (§ 4), является почти периодической.
2) Докажем теперь достаточность условий теоремы, т. е. предположим, что
f(x)^C(- оо, оо) и является нормальной; требуется доказать, что / (х) -
п. п. функция.
Предположим противное. Пусть /(х) не есть п. п. функция. Тогда существует
s0 0, для которого нельзя подобрать соответствующую длину I (е0), т. е.
для любого 1^> О найдется отрезок [h - h-\-l] длины 21 такой, что для
каждой точки [h - /,
h-\-l) имеем
sup | / (x + 5) - / (*) | e0. (15.3)
X
Для краткости такие отрезки будем называть "особыми". Построим
последовательность особых отрезков [hn - hn -j- /"] (п = 1, 2,...) таких,
что
1п max | hm |
т < л
14 б4 п. Демидович
418 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
(п = 2, 3,...), где U произвольно. Так как при т<^п имеем IК - (hn - hm)
| = | hm j *=:
то
hn \h-n In, hn -J- /"],
если m<^n.
Рассмотрим функциональную последовательность f (x-\-hi), f (x..., f (x-\-
hn),...,
где hit hi, ..., hn,... - центры наших особых отрезков. Для любой ее
подпоследовательности
/ (х + hPi), f {х + hpt).f(x + hPn), ...
при pm<ipn имеем
sup I / (* + hPn) ~f (x + hpJ | =
= sup| f(x + hpn - hpJ - f(x)\-2**b,
так как hPn - hPm принадлежит особому отрезку
\Kn ~ 1рП' hpn^tpJ-
Следовательно, подпоследовательность { f(x-\-hPn) } несходится равномерно
на (-со, оо) и, значит, функция f(x), вопреки предположению, не является
нормальной функцией. Полученное противоречие и доказывает достаточность
условия теоремы.
Замечание. Так как нормальность функции является необходимым ,и
достаточным условием почти периодичности ее, то это свойство можно
принять за определение п. п. функции. Пользуясь свойством нормальности,
получаем простое доказательство почти периодичности суммы или
произведения конечного числа п. п. функций.
§ 16. Почти периодические матрицы
Определение 1. Матрица
F(x) = (fjk(x)) (-со<х<оо) (16.1)
называется почти периодической, если все элементы ее fJk (х) являются п.
п. функциями.
Используя норму матрицы (гл. I, § 4), можно дать другое определение п. п.
матрицы.
Лемма. Матрица F(х) является почти периодической тогда и только тогда,
когда для любого е^> 0 существует относительно
§ 16] ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ 419
