Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Г = sup |/ (s)|,
5
то интеграл (17.5) сходится. Поэтому ограниченное решение существует и
имеет вид
СО
4(0 = -$ ex^f(s)ds, t
причем
со со
h (О I ^ 5 I 11 / (s) Ids ^ T 's e°{t~s) ds = J.
/ 0
Если т = т/(е) есть s-почти период функции f(t), то имеем
со со
7] (14- х) = - $ еЧ*+*-*) f (s) ds = - $ / (s 4- х) ds;
/ + т О
отсюда
h 0 +х) - ч (О I =
со
= |JeM^)[/(s + x)_/(s)]ds|^
00
=?= sup I /(s 4-x) - /(s) I - § ea^-sUs<i~. Следовательно, функция rt (0
почти периодическая.
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ
423
2) Пусть a = ReX<^0. Тогда | eXt \ = е°* -*¦ оо при t ->- оо.
Аналогично случаю 1) получаем, что ограниченное решение имеет вид
t
тj(0= ^ eXi' s)f(s)ds
- СО
(|ч(01"+)
и является почти периодическим.
3) Пусть a = Re Х = 0, X = iv и существует ограниченное решение
rl(t) = ei" [cQyie i>sf(s)ds\.
О
Тогда
t
\e~i,sf(s)ds
о
ограничен и, следовательно, представляет собой п. п. функцию (§ 7). Таким
образом, в этом случае все решения
у (0 = еы [с + (riM / (s) ds\ (| с | < оо)
о
ограничены и почти периодические.
Замечание. Если однородное уравнение
§ = х" (17.6)
не имеет нетривиальных ограниченных на (- оо, оо) решений, т. е. ReXytO,
то неоднородное уравнение (17.3) допускает единственное ограниченное и
почти периодическое решение.
Если же однородное уравнение (17.6) имеет нетривиальные ограниченные
решения, т. е. ReX = 0, то неоднородное уравнение (17.3) или не имеет
ограниченных на (-оо, оо) решений, или существует бесконечное множество
ограниченных и почти периодических решений.
Обобщенная теорема Бора - Нейгебауэра. Всякое ограниченное решение
линейной дифференциальной системы. (17.1) с постоянной матрицей и почти
периодическим свободным членом является почти периодическим ').
*) Эта теорема обобщает аналогичный результат Бора и Нейгебауэра
[74], полученный ими для линейного дифференциального уравнения с,
постоянными коэффициентами и почти периодическим свободным членом.
424
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ДОП.
Доказательство. Приведем доказательство Кордуняну [73]. С помощью
неособенного преобразования
y = Sx
(det S Ф 0) систему (17.1) можно перевести в систему с постоянной нижней
треугольной матрицей
[Л
В = 5-М5 =
bit ка
о
Имеем
dzt
~dt
dz,.
dt
dz
lit
- XiZi -j'g'l (t),
= bnZi -j- Х2г2 -f- g% (t),
f - bniZi -j- bniz.i -f- knzn -j- gn (t),
где
g(t) = colon [?,(/), gn(t)] = S lf(t)
•очевидно, п. п. вектор-функция. Пусть
4(0 =
Til (t)'
.V" (0.
- ограниченное решение системы (17.1), тогда
(t)
z(o) (t) = S 1r\ (/) =
_z'n (OJ
(17.7)
будет являться ограниченным решением треугольной системы
(17.7). Так как
rfzi01
dt
- (t),
то в силу леммы имеем, что функция zi0' (/) почти периодическая. Далее,
так как
^ = Х,г?о' + [Ь"г!°'(0+&(*)],
§ 18] КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 425
то на основании леммы функция z'?' (t) также почти периодическая.
Продолжая это рассуждение, находим, что все функции z'i' (t) (k = \, ...,
п) являются почти периодическими, а следовательно, решения г(о) (t) и т]
(t) также почти периодические. Теорема доказана.
Следствие. Если корни щ, ji2, ..., характеристического уравнения
det (А - рЕ) = О
не имеют нулевых вещественных частей:
Re Ф 0 (j = 1..........ri),
то система (17.1) допускает единственное почти периодическое решение (см.
гл. IV, § 10).
В этом случае, предполагая, что
/(0с/=2&(А)еш,
X
нетрудно построить ряд Фурье ограниченного п. п. решения
т) (t) c/s ^ с (X) еш.
х
Формально подставляя (§ 10) эти ряды в систему (17.1), будем иметь
^ А с (X) еш = 2 А с (х)еШ + 2 ь (х)еД'-
XXX
Отсюда
С(к) = - (А- А?)-' Ь (X) (det [А - i\E) ф 0) и, следовательно,
т| (0 с/2 2 (Д? - А)~1 b (X) еш.
х
§ 18. Квазилинейная почти периодическая система
Рассмотрим квазилинейную систему
=Ау +/(0 + [*<р(t, у), (18.1)
где у = (уи уп); А = [ajk] - постоянная (п X гс)-матрица; /(0 6с(^) и
ф(^ j0 6EC(/*Xe^y) - (лХО-векторы; ji -малый скалярный
параметр, причем выполнено условие Липшица
|| <р (t, z) - ср (t, у) || "s N || г - у || (18.2)
(у ? е%?у, Z ? eft?*, N - постоянная).
426 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Теорема Бирюк [75]. Если
1) Re Ху (Л) Ф 0;
2) fit)- почти периодична по t;
3) ф (t, У) - почти периодична по t равномерно по у на каждом компакте
Y,
то при |[х|<^[х0, где jx0 достаточно мало, система (18.1) допускает почти
периодическое решение т] = т] (t, ;х).
Доказательство. В силу теоремы Боля (гл. V, § 10) система (18.1) при
|[x|sg[jLi имеет равномерно ограниченное на оси It решение т] = т](^ jx),
удовлетворяющее интегральному уравнению
Ч(*. Iх)= I G (t - h) [f (h) + (tu 4(^i, nO)] dti, (18.3)
- CO
где матрица G(t) такова, что
||О(0||<аГв|<| (18.4)
(с и а.- положительные постоянные).
Пусть
II Л (t, Г)\\<Ь< со при t?It и
Покажем, что при достаточно малом | jx | вектор-функция т] (t, jx) почти
периодична по /. Пусть х = ху(е)-общий почти период вектор-функции f(t) и
семейства <р(^, у) (||_у || ^Ь). Из формулы
(18.3) при |[x|s?[xi имеем
