Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
4d4 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Доказательство. Рассмотрим множество вектор-функций
lP(t) = l(t + p) (Р= 1,2,...).
Очевидно, %p(t) есть решение системы
%P(t)=f(t + p,lp) (р= 1,2,...),
определенное в промежутке [/" - р, со), причем %p(t)^Bx при tSst0 - р.
Поэтому для любого промежутка [Т, со) существует подпоследовательность
{hp\, для которой последовательности {%hp(t)} и {f(t -\-hp, jc)} являются
сходящимися при р-> со равномерно по t v. х в каждой области [Т, Т'] У(ВХ
(Т'^>Т). Полагая Т = - 1, -2.......диагональным процессом построим после-
довательность {%hp(t)} такую, что на всей оси - со t со имеем
lhp(t)-^l(t) при р-^со равномерно на каждом ограниченном интервале (а,
?3) ^ /t, причем f{t-\-hp, x)^f(t, jc) при р->* со
i, х
и (t, jc) ^^ХВх._
Отсюда 1 (t)(zBx при t(^It и | (t) является ограниченным решением системы
§=?(*> *)•' &) входящей в Н-класс системы St. А так как (§ 19, лемма) Н-
класс системы St совпадает с Я-классом системы St, то в силу леммы 2
всякая присоединенная система S/+h также будет иметь ограниченное решение
т| (t) ? Вх при t ? It.
Лемма 4. Если почти периодическая система St имеет ограниченное решение %
(Г) ? Вх при t 11 и все ограниченные решения к] (t) ^ Вх при t Е 11
присоединенных систем St+h ^ Н (S,) являются разделенными в ItXBx (Вх -
компакт), то они рав-норазделенные в 11 X Вх, т. е. существует число р 0,
общее для всего класса Н (St) и такое, что_ для любых двух различных
ограниченных решений ц' (t) ? It\ Вх и г)" (t)(^ 11 X Вх произвольной
системы St_vh выполнено неравенство
inf || к]' (О -Ч'(011 >Р>0-
t
Доказательство. В силу леммы 1 система St имеет конечное число
ограниченных решений gt (t)......?N(t), содержа-
щихся при t(^It в компакте Вх, причем
inf 111Л0-1Л011 = Р>0.
ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
435
Рассмотрим ограниченные решения {т] (0} произвольной системы S/+ft такие,
что rj (t) ^ // X Вх. В силу леммы 2 эти решения существуют, а так как
они по условию леммы являются разделенными, то число их Л\ конечно. Так
как S/+ft ? Н (S,), то для некоторой последовательности {hp} существуют
пределы
T\q(t) = \\miq(t-\-hp) (q = 1.........N) (20.2)
р -> СО
равномерно на каждом конечном интервале Вектор-
функции ri?(0 (q = \, N) являются ограниченными решениями присоединенной
системы S/+ft, содержащимися при t It в компакте Вх. Очевидно, при г -ф s
имеем
inf || 1,(t + hp) -ls(t + hp) [I = inf || 1,(t) - %s(t) 11 ^P >0 t t
и, следовательно,
inf || лЛО - 4,(9 || = p > 0. (20.3)
t, гф-s
Таким образом, ограниченные решения ti?(?) (q = l, ..., N) попарно
различны и, значит, Ny^N. Так как (§ 19) S, ? И (S/+ft), то аналогично
имеем отсюда Nt = N, т. е. число огра-
ниченных решений г] (0, Целиков содержащихся в компакте Вх, для всех
присоединенных систем S,+ft одно и то, же, причем все эти решения могут
быть получены по формуле (20.2). Отсюда на основании неравенства (20.3)
вытекает справедливость леммы.
Замечание. Если ограниченные решения почти периодической системы St
разделены в области It X Вх, то отсюда еще не следует, что в этой области
являются разделенными и ограниченные решения всех присоединенных систем
St+h.
Пр и мер (см. [77], [67]). Рассмотрим скалярное уравнение
Tt = Ht)x, (20.4)
где
СО
f (0 = У (2? sin 2Л + 1 • ^20-
k=o
Так как ряд (20.5) равномерно сходится на всей действительной оси -
oo<^t<^oo, то f (t)- почти периодическая функция (§ 4), Интегрируя
уравнение (20.4), будем иметь
x(t) = ceF^t
(20.6)
436 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
где
t со
F (0 = \ I (!) "К = У ^ (1 - со, =
О k=0
СО
= 2 2ft+T Sin2272l+T)- ^20-7^
Пусть п - произвольное натуральное число и tn=l • 3... (2л + l)ic.
Так как все члены ряда (20.7) неотрицательны, то, учитывая, что sin22(2^'
1)~* ПРИ k = 1' •••> п' имеем
П
П п
= 2aTT>2SsTT = I"(2" + D (" = 1.2,...).
ft=0 о
Следовательно, функция F (t) положительна и неограничена на оси -со <^t
<^оо. Отсюда на основании формулы (20.6) уравнение (20.4) имеет
единственное ограниченное решение
jc = 0,
соответствующее с = 0. Таким образом, решение является разделенным в
любой области Ity(Bx.
С другой стороны, для последовательности функций
принимая во внимание, что 2/^11 - (^r 4~ O' гДе г - целое число при
0^/г^п, имеем
п СО
f(tJrtn)='^i 72FH? Sin 2k+ \ + (2/j+l)'iSln
k=0 k-n-\-1
n со
V 1 "• t 1 X1 1 t + tn
~ Zi (2ft + I)2 Sln 2ft 4-1 "Г Zi (2ft4- l)2 Sm 2ft 4- 1
k=0 k=n-\-l
- - / (0 4~ sn (0>
причем s"(0^0 при ti-^oo. Отсюда
g(*)= lim/(*-{- /") = - /(0
ТЕОРЕМЫ АМЕРИО И ФАВЛРА
437
и поэтому уравнение
% = (20.8)
является присоединенным к (20.4). Общее решение уравнения
(20.8) имеет вид
tJ{t) = ce~F{,\
причем
| y(i)\^c
и
inf \у{1) 1 = 0. t
Таким образом, все решения уравнения (20.8) ограничены, но, очевидно, не
являются разделенными.
§ 21. Теоремы Америо и Фавара
Теорема Америо (см. [76]). Если почти периодическая система
х) {st)
имеет ограниченное решение | (t), содержащееся в некотором компакте Вх
