Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
абсолютной величиной р
\St+h St+hp I = II g(t> х) jc) ||,
обладающей обычными свойствами. Заметим, что в силу предыдущих
рассуждений сходимость
St+hp -*¦ S/+h при р -> оо ¦
можно предполагать равномерной по совокупности переменных (t, jc) на
каждом множестве ItXBx, где Вх - компакт.
Для краткости будем называть системы (S/+h) присоединенными к системе
(St). Заметим, что каждая присоединенная система, очевидно, является
почти периодической и для нее справедливы условия 1г) и 2).
Определение (см. [76], [73]). Совокупность всех присоединенных систем
St+h, соответствующих всем последовательностям {hp}, для которых
существуют равномерные пределы (19.1), будем называть Н-классом почти
периодической системы Sh т. е.
H(St) = {St+h\,
а всякую систему Sl+h?H (St) будем называть представителем Н-класса.
Таким образом, //-класс системы St является замыканием всех смещенных
систем St+h
Заметим, что в //-класс системы St входят все системы вида
2=У(^ + а. У) (а = const),
так как в качестве последЬвательности {hp} можно выбрать сходящуюся
последовательность а, а, ...
Отметим основное свойство //-класса почти периодической системы St.
Лемма. Н-класс почти периодической системы. St определяется любым своим
представителем St+h, т. е.
H(Sl) = H(SM).
Доказательство. Пусть
= 5/+л = lim St+h
Р-* ОО У
St+k Е н ($t)> т. е.
= lim Sl+k
q-*co 4
§20] ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Имеем
431
is, -5/+ЛрК|
(19.2)
при p>Nu (t, x)?ItXBx и
IS/+* I <%r
(19.3)
при p>iV2, (t, x)QItXBx-
Заменяя в неравенстве (19.2) t на t-\-kp, будем иметь
(19.4)
при p^>Nи (t, x)?ItXBx.
Из неравенств (19.3) и (19.4) при p^>max(Nlt iV2), '(t, х) ? ? It X Вх
получаем
§ 20. Ограниченные решения почти периодических систем
Рассмотрим почти периодическую систему St со свойствами
Пусть | = |(0 - ограниченное решение системы Sh определенное в
максимальном интервале а t р и для всех t ? (а, р), принадлежащее
некоторому компакту Кх С Ах. Тогда из известной теоремы существования
решений системы дифференциальных уравнений вытекает, что решение 1(0
бесконечно продолжаемо
St+k G н (St).
Таким образом,
H(St) = H(SM)<ZH(St).
1) и 2).
432 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
влево и вправо, т. е. существует в бесконечном интервале (- оо, оо),
причем
sup||S(f)|| = c<oo. t
Определение. Следуя Америо [76], ограниченное решение КО G Bx(t? I,)
почти периодической системы St называется разделенным (separated) в
данной области I, X Вх, если или оно единственно в Вх, или для всякого
другого ограниченного решения т| (t) Вх при t I, выполнено неравенство
in* IIKO -Ti(0!!ssp>0,
(20.1)
где р - положительная постоянная, зависящая только от | (t) (рис. 66). В
дальнейшем мы будем придерживаться изложения Кордуняну [73].
Лемма 1. Если все ограниченные решения Ц7) Вх почти периодической системы
St_ разделены в 11 X Вх, где Вх - компакт, то в области 11 X Вх
существует лишь конечное число ограниченных решений.
Доказательство. Пусть {?(/)} - множество всех ограниченных решений в
1/\Вх. Так как Вх - компакт, то множество функций {|(0} равномерно
ограничено, т. е.
sup || ^ (0 П =sS с, < оо.
1.1
Кроме того, имеем
1(0 =/(0 КО).
где fit. х) ограничена в It\Bx (§ 19), и, значит,
supir/(f, КО) II =^са<оо.
Отсюда
I! 1 (О - 1 it) || = || \f it, l (0) dt || <: \ || fit, I it))
\\\dt\^Ci\f~-t\. t t
Следовательно, множество функций {КО} равностепенно непрерывно.
§20] ОГРАНИЧЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ 433
Если множество {1(0} бесконечно, то в силу теоремы Арцеля (гл. V, § 2)
существует последовательность ограниченных решений 1 p(t) ? ItXBx (р= 1,
2, ...) такая, что
1Р(0^1*(0 при со
t
равномерно на каждом ограниченном интервале а t [3, причем предельная
вектор-функция |* (t) на основании непрерывной зависимости решений от
параметра есть ограниченное решение системы St в ItXBx-Так как
inf||S* (0-1,(011 = 0,
t,p
то решение (0 не является разделенным в I, X Вх.
Лемма доказана.
Лемма 2. Если почти периодическая c.ucmeMa_St допускает ограниченное
решение | (0 G Вх при t I h где Вх - компакт, то любая присоединенная
система St,.h также имеет ограниченные решения tj (0 G Вх при t ? It.
Доказательство. Пусть правая часть системы St+h есть
g(t, х) = lim f(t-\-hp, х),
р->СО
где
f(t-\-h x)zX-g(t, *) при оо
t,x
и (t, х) ItX Вх. Рассмотрим последовательность вектор-функций *lP(t) =
l(t + hp) (Р= 1, 2, ...),
где, очевидно,
%(t)(zBx при t^It,
причем
Чр(0=/(^ + Ар. ЧР) (р = 1, 2, ...).
Эта последовательность равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.
Следовательно, существует предел некоторой ее подпоследовательности
Ч(0 = Нтт|" (0-
р->СО у
Очевидно,_ т] (0 является ограниченным решением системы S/+h и т|(0 ?ВХ
при t (= /,.
Лемма 3. Если почти периодическая система St допускает положительно
ограниченное решение | (/) Вх при t /0, где Вх - некоторый компакт, то
каждая присоединенная система St?n имеет ограниченное решение т] (t) ? Вх
при t It.
