Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
плотное множество чисел т (s-почти периоды матрицы) таких, что
||/> +т)-/-(*) || <е (16.2)
при - со<^х<^оо (где под нормой понимается I, II или III
норма матрицы, гл. I, § 4).
Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условия (16.2), причем
доказательство будем проводить для III нормы матрицы:
11^(*)11=К21Ы*)1а- 06.3)
/'. к
Доказательства для остальных норм аналогичны.
Пусть матрица F(x) типа nXm и е^>0 произвольно. Для конечной совокупности
п. п. функций fjk (х) существует относительно плотное множество {т }
общих -/--почти периодов (§ 3,
у пт
лемма 1), т. е.
у пт
ДЛЯ V/. ? И -оо<^х<^со.
Отсюда
|№ + t)-,F(*)||= _______
= V'?i\fik(x + T) - f]k(x)l*<^'\/~nm--^ =e.
1, к
Таким образом, неравенство (16.2) выполнено.
2) Докажем достаточность условия. Предположим, что для некоторого
относительно плотного множества {т}, зависящего от произвольного числа
в^>0, имеет место неравенство (16.2). Тогда
I fjk (* + *) - fjk (х) | || F(x-\- т) - F (х)
|| <е
для любых / и k. Следовательно,, все функции fjh(x) почти периодические
и, значит, матрица F (х) также почти периодическая. Лемма доказана.
Из определения 1 легко следует, что если матрицы F (х) и G (х) почти
периодические, то матрицы AF (х), F (х) А (А - постоянная матрица), F (х)
+ G (х), F(x)G(x), FT(x), F* (х) || /*"(лс) || - также почти
периодические.
Естественно также для п. п. матрицы F (х) устанавливается понятие ряда
Фурье
F (х) с/э ^ А (к) еПх,
где
Л(Х) = М{/:(х)е''и}.
14'
420 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Для непрерывной матрицы легко обобщается понятие нормальности.
Определение 2. Матрица F(x)?C(-оо, со) называется нормальной, если из
любой последовательности F{x-\-h{), F(x + hJ, F(* + A*),
(Л*6Е(- оо, 00); k=zl, 2, ...)
можно выбрать подпоследовательность
F(x-\-hPl), F (x-\-hP2), ..., F(x-\-hPk), ...,
равномерно сходящуюся на всей действительной оси, т. е. существует
матрица Ф(я) такая, что
II Р(х-\-Г1Р1г) - Ф(х) || <е
при k^> N (в) и -оо<^л:<^оо, причем, очевидно, Ф (х) ? ё С (- оо, оо).
Обобщенная теорема Бохнера (см. [73]). Для почти периодичности
непрерывной матрицы F (х) необходимо и достаточно, чтобы она была
нормальной.
Доказательство. 1) Пусть (л X /п)-матрица
F(x) = (fJk (х))
почти периодическая и
{F (х + hp)} = {(fJk (х + hp))} (р = 1, 2, ...)
- произвольная последовательность ее сдвигов вдоль действительной
оси. Так как все функции /у* (л:) почти периодические, то в силу теоремы
Бохнера (§ 17) из последовательности {/и (я-J- hp)} можно выделить
равномерно сходящуюся последовательность {/11 р)}-
Далее, из последовательности {fn (х-\-Ип р)} выделяем равномерно
сходящуюся подпоследовательность {/12 (я-f- hn р)}, причем, очевидно,
подпоследовательность {/п (я-f- hM р)} также равномерно сходится. Так как
число функций fJk(x) конечно, то, продолжая этот процесс, мы в конце
концов получим подпоследовательность hp = /i"m,р (р = 1, 2, ...), для
которой все подпоследовательности
{/>(* + лр)} (/=1......я; k=\, т; р= 1, 2, ...)
равномерно сходятся на оси (- оо, оо).
Следовательно, существует (п X /п)-матрица Ф (х) такая, что
F (х-f- Лр) =? Ф (х) при р ->¦ СО, причем предельная матрица Ф(х) почти
периодическая,
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ПОСТОЯННОЙ МАТРИЦЕЙ
421
2) Пусть теперь матрица F(x) = [fjk{x)] нормальная. Тогда из теоремы
Бохнера непосредственно вытекает, что все функции fJk (ас) почти
периодические. Отсюда на основании определения I получаем, что матрица F
(х) также почти периодическая.
В дальнейшем нам придется иметь дело с семейством почти периодических по
х матриц F (х, у), зависящих от параметра у.
Определение 3. Матрица F (х, у) называется почти периодической по х
равномерно относительно параметра у ? У, если для каждого е 0 существует
относительно плотное множество общих, не зависящих от у, е-почти периодов
z = zF(s) семейства {F (х, у)}, т. е. при всех л:^(-со, с") илюбом y(^Y
имеем
II y) - F{x, У) || <8-
§ 17. Линейная система с постоянной матрицей и свободным почти
периодическим членом
Рассмотрим систему
| = Л^+/(0, (17.1)
где у - (м X 1)-вектор, А - [а/к] - постоянная (п X п)-матрица и f (t) -
почти периодический (п X 1)-вектор.
Мы будем изучать свойства решений т| (/), ограниченных на всей
действительной оси, т. е. таких, что
sup || Л (0 || = М оо. (17.2)
t
Лемма. Если скалярное уравнение
f = Ху+ /(<), (17.3)
где X = (!,-}-tv - комплексное число и f(t) - п. п. функция, имеет
ограниченное решение
y=ri(t),
то это решение почти периодическое.
Доказательство (см. [73]). Общее решение уравнения
(17.3) имеет вид
y{t) = eu [c + fe-x7(s)ds], (17.4)
О
где с - произвольная постряннзя,
422 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
1) Пусть a=ReX^>0. Тогда || еи || =е" со при t^oo. Из формулы (17.4)
вытекает, что для того, чтобы y(t) было ограниченным, необходимо, чтобы
t со
lim [c-Me'A,5/(s)dsl=c4- \ e'Xs f(s)ds = 0.
/-оо L й J О
Отсюда
СО
c = -\e-Xsf(s)ds, (17.5)
О
причем, так как
I e~Xsf(s) | (s=sO),
где
