Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
при t ? lt, причем ограниченные решения из Вх всех присоединенных систем
Si+h разделены в It X Вх (§ 20), то все эти ограниченные решения почти
периодические.
Доказательство [73]. Пусть 1 = 1(0 - ограниченное решение системы St
такое, что K0G Вх при t?lf. Чтобы убедиться в почти периодичности этого
решения, достаточно доказать, что вектор-функция \(t) нормальная, т. е.
из любой последовательности ее сдвигов можно выделить подпосле-
довательность {! (/-j-/za^)}, равномерно сходящуюся на всей
действительной оси - со -(- со.
Предположим противное. Пусть существует последовательность {%(t-\-hp)},
сходящаяся равномерно на каждом конечном промежутке а<Х<^р (этого всегда
можно добиться в силу теоремы Арцеля), причем любая ее
подпоследовательность {| (/-f-/%р)} не сходится равномерно на
бесконечной оси - со t со. Так
как f(t, х) почти периодическая, то на основании теоремы Бох-
нера можно предполагать, что последовательность {f(t-\-kp, х)}
сходится равномерно на /(X Вх-
Пусть р - положительное число, характеризующее равнораз-деленносгь
ограниченных решений систем {S(+A} в It\Bx
438 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
(лемма 4 из § 20). Если .ограниченное решение | (t) единственно, то число
р^>0 можно взять произвольным.
Положим
9pq (0= II ^ V "Ь kp)- ^ "Ь kq) II (Р Я)
И
= (*)<-§-}.
Так как последовательность {^(t-\-kp)} сходится в каждой точке t ? It, то
при достаточно больших р и q множество If - (r) не пусто, причем
p<q
Очевидно, ypq (t) непрерывна на lt.
Пусть
(r)pq Slip fpq (t) .
t^ijp.q)
Если
lim 8Я = 0, (21.1)
p, q-*co
то последовательность {%^-\-кр)} сходится равномерно на оси lL.
Действительно, при условии (21.1) для любого (r)^>0, где
0 е у, имеем
8р?<* при q>p^zNe.
Отсюда 'рР9(0<е<у, если t?I(tp,4\ причем <?pq (t) > , если
Но функция <?pq(t) непрерывна на /,; поэтому lf'q) = It при р, q^Ns и,
следовательно, {| {t~{-kp)) сходится равномерно на (-оо, -)-00)- (r) этом
случае теорема доказана.
Предположим противное, т. е. что соотношение (21.1) не имеет места. Тогда
Пт 8Р? = 2Т>0 (21,2)
р, д-+со
и, следовательно, найдутся последовательности {рг} и {qr} такие, что
%prqr 5= 7 (Г = 1, 2,
Отсюда в силу определения функции Ьрд вытекает, что существует
последовательность {tr} ? l\Pr'Яг\ для которой
1
ТЕОРЕМЫ AMF.P110 И ФАВАРА
439
и, значит,
Так как c,(t) ограничена, то из последовательностей {|(^г -(- /гр )} и
(tr -j- kg )} можно выбрать одновременно сходящиеся подпо-
следовательности:
Рассмотрим последовательности {| (t -j- t's -j- Xs)} и t's -f- p.,)}.
Так как эти последовательности равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны, то по теореме Арцеля (гл. V, § 2) из них можно выделить
подпоследовательности, сходящиеся равномерно на каждом конечном интервале
а <^<^. Чтобы не усложнять обозначений, мы будем предполагать, что сами
эти последовательности сходятся, т. е. существуют
Вектор-функции ^(О и %(0 являются, соответственно, решениями
присоединенных систем
и- lim|(^-f х5)
и
г]! (t) - lim \(t -f- ts -j- X5)
и
% (0 - l(^~b ts "bp-i)-
и
где
(21.5)
440 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
причем опять предполагается, что в случае надобности выбрана равномерно
сходящаяся на It X Вх подпоследовательность.
Покажем, что пределы (21.5) и (21.6) совпадают. Действительно, так как
согласно нашему выбору последовательность jc)} сходится равномерно на
hXBx и {XJ, {.j.,} суть подпоследовательности последовательности {kD\, то
1ш1/(* + Х4, y) = hmf(t + lxs, y) = g(t, у)
II f{t + K y)-fV + Ps. У) IK(r) при s^N(e) и (t, у) ? I tX Вх. Отсюда
II gi (Л У) - gi (t, У) II || gt (t, у) -f(t + t's + X9, y) || -f +
ll/(^_r^ + Xs, y) -f(t -|- ts + |i.s, y) || -f-
+ II f(t + ts + [As, y) - gi (t, у) || 3$,
если s5?Ar(s) и (t, y) ? It X Bx.
Следовательно,
gi(t, y) = gi(t, у) при (t, y)?ltXBx.
Таким образом, %(/) и %(/) являются ограниченными решениями одной и той
же присоединенной системы St+h в области It X Вх. Так как
rii (0) = lim | (t's Xs) = к
5-* СО
И
(0) = liml(t's + ^) = v,
S-fCO
причем на основании неравенства (21.4) имеем
у<|| 4i(0)-4i(0)||<-?, (21.7)
то эти решения различны. Поэтому в силу выбора числа р должно быть
выполнено неравенство
inf || iii (0 - %(0 || 3sp>0.
t
Однако это противоречит неравенству (21.7).
Теорема доказана.
ТЕОРЕМЫ АМЕРИО И ФАВЛРЛ
441
Следствие. Если почти периодическая система St имеет единственное
ограниченное решение g (t) и все системы ее Н-класса {Sf+A} также
обладают единственными ограниченными решениями, то все эти ограниченные
решения почти периодические.
Рассмотрим линейную однородную систему
§ = Р( i)x, (S,)
где Р (t) - почти периодическая матрица, и пусть
%t = P(t)x, (Ум)
где
P(t-\-hp)^P(t)
- ее Н-класс.
Теорема Фавара (см. [77], [67]). Если каждая присоединенная система y,t+h
не имеет ограниченных нетривиальных решений, то для любой неоднородной
системы
%=PV)y+t{t), (S,)
где f (t) - почти периодическая вектор-функция, ее ограниченное решение,
если оно существует, является почти периодическим. Доказательство, //-
