Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
характеристического корня Ху, то определение 5, введенное ради краткости
изложения, эквивалентно обычному.
456
ПРИЛОЖЕНИЕ
Подпространство Sfy инвариантно относительно преобразования А, так как,
учитывая перестановочность преобразований (А- XjE)p> и А, при лг?5)?у
получаем
(.А - XjE)pi Ах = А [(А - \jE)pjx] = Л0 = О, т. е. Ах ? 93?у.
Теорема 4 (первая теорема разложения). Комплексное векторное пространство
8" представляет собой прямую сумму инвариантных корневых подпространств
любого своего линейного преобразования А, принадлежащих всем его
различным собственным значениям Хь ..., Хт (т^п).
Доказательство (см. [5]). Пусть Д (X) из (14) - характеристический
полином преобразования А. Разлагая дробь 1/Д(Х) на простейшие, будем
иметь
1
А(Х)
Л'*'
Х-Х,
лп' ар 1
А\т
(XJ 1
х -х"
где Af (j = 1,..., m; k Отсюда находим
1 Р, (X)
А(Х) (Х_Х,)Р1
/Лт)
... +--------------1,
(X - Xm)pm J '
pj) - некоторые постоянные. , Рщ (X)
(>-
-\т)рт
где Pj (X) (/ = 1
т) - целые полиномы, причем дроби
Pj (1)1(1 - Х;) у - несократимые, т. е. Ру(Ху)^ 0. Таким образом,
получаем тождество
1=Р,(Х)Д1(Х) + ...+ Рт(Х) Дт (X), А (X)
где
Ду(Х) =
(Х-Ху)Ру
(/= 1,..., т)
- также целые полиномы.
Для любого вектора х ? in положим
x{j) = Pj(A)^(A)x (i=l,..., т). Так как на основании формулы (18) имеем
Ё = Рг (А) Д, (А) + ...+ Рт (А) Дт (А), х=р, (А) д, (А) X +... + рт (А)
\т (А) х
ТО
и, следовательно, справедливо разложение
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ 457
Пусть - корневое подпространство преобразования А,
отвечающее его собственному значению л;- (/=1,..., щ), т. е.
ЯЯ, = {л;? %n:(A - \jE)pfx = Q}.
Покажем, что хи) ?Ш;-. Действительно, используя формулы (19) и (20), на
основании теоремы Кейли получаем
(А - ljE)plx{J) = Рj (А) Д (Л) X = 0,
т. е. л*(;) Ш/.
Докажем, что разложение (22) на компоненты х (/) G
(/' = 1,..., т) единственно. Действительно, пусть, кроме (22), имеем
х=ум 4-у(т),
где y{j) е (/=!.•••, tn)- Учитывая, что при k Ф j и z Ш;-
справедливо соотношение
Л, {A)z = (А - X(?)Pl ...(А - h^Efb-t (А - ,/:):*>...
• ¦•{А - К&)Ртг = П(А - К?)р$ -(А - чёрг = о,
5 тр j,
S ф k
и используя формулы (21) и (20), будем иметь
т
уи) = 2 Рь(А)д*(А)у^ = Pj(А)дj{A)yU) = k= 1
т т
= 2 Pj(A)^j(A)y^ = Pj(A)\j(A)^y^ =
*=1 *=1
= Ру(/1)Д;.(Л)л: = л:(;') (/=1,..., m).
Таким образом, всякий вектор х единственным
образом может быть представлен в виде суммы (22), где хи)
^ i\';- (/=1,..., /л), и, следовательно, пространство Р является прямой
суммой корневых подпространств:
г^эг.е.-.е^, (23)
где
dim 5)ii -f- ¦ • ¦ + dim Шт = п.
Следствие 1. Если линейное преобразование А в имеет
единственное собственное значение Хь то пространство 8,! является
корневым для А, принадлежащим Хь т. е.
2п = {х ?= Zn : (А - \Ё)пх = 0}.
458 ПРИЛОЖЕНИЕ
Следствие 2. Размерности корневых подпространств Ш/ (j= 1,, т) совпадают
с кратностями соответствующих собственных значений \Jt т. е.
dim 9)ij = Pj (j= 1........m). (24)
Доказательство будем проводить методом индукции относительно числа т
собственных значений преобразования А.
Если преобразование А допускает единственное собственное значение ^(m^l),
то его характеристический полином имеет вид
A(z) = (z-X1)".
Отсюда кратность корня есть рг = п, и эта кратность совпадает с
размерностью единственного корневого подпространства
а",:
dim 9J?i = dim ?л = /г.
Пусть теперьа наше утверждение верно для всех линейных преобразований В
любого линейного пространства допускающих т-1 различных собственных
значений (т5= 2).
Б пространстве ?" рассмотрим линейное преобразование А, имеющее т
различных собственных значений /-I,..., лт с кратностями,
соответственно, pi. рт, где
Pi + • • • ~Ь Рт - п- (25)
Пусть SDty (/ = !,..., т) - корневое подпространство преобразования А,
принадлежащее собственному значению Ху-. Прямая сумма
9^0... 0SV,
представляет собой некоторое линейное подпространство на котором^ на
основанин приведенного выше замечания преобразование А имеет лишь т - 1
различных собственных значений Аь..., Хт1. В таком случае в силу
индукционного предположения получим
dim?Dts = ps (s = 1........т-1).
Кроме того, как было доказано, имеем
поэтому
т - 1 т - 1
п = dim ?л = ^ dim + dim 2)tm + dim ЗЛт.
i=i i=i
ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ
459
Отсюда, учитывая формулу (25), получаем
т - 1
dinrWm = /z- 2 ps = pm,
5=1
и, таким образом, наше утверждение доказано.
Следствие 3. Если линейное преобразование А рассматривать на его корневом
подпространстве й\'у (/=1,..., п), принадлежащем собственному значению
Ау, то характеристический полином этого преобразования имеет вид
Dj(z) = (z- А/;, (26)
где р,- - кратность корня Ау-.
Формула (26) вытекает из того обстоятельства, что на корневом
подпространстве Ш/ преобразование А имеет единственное собственное
значение Ау, причем размерность Ш?у равна pj.
На основании первой теоремы разложения (теорема 4) и теоремы 3 получаем
первую теорему приведения:
Теорема 4'. Всякую (п X п)-матрицу А, имеющую различные собственные
