Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
что векторы
l(.m).....1{р, X (9)
1 т
линейно независимы, ибо в противном случае вектор х являлся бы линейной
комбинацией векторов ... , |(.т) и, следова-
1 т
тельно, теорема была бы доказана. Подпространство <2 = {=ч1(т> + •.. +
чЛ(и] +
т т
натянутое на векторы (9), в силу свойства максимальности системы (7)
имеет с подпространством 9)im_i ненулевое пересечение
km
* = 2 а^ + Ьх?Шт 1( (10)
;= 1
где, очевидно, b Ф 0. Но на основании индукционного предположения для
подпространства 9)im_i теорема верна, т. е. z представляет собой линейную
комбинацию векторов ...
... , |... , W- Таким образом, из (10) получаем,
т-1 1 1
что произвольный вектор х Wtm может быть выражен в виде линейной
комбинации векторов ^р) (р = 1, ..., т\ /= 1, ..., kp).
Отсюда вытекает, что система векторов (7) есть базис пространства ?л, что
и требовалось доказать.
Следствие. Для каждого подпространства Шр (dim50?p = p) линейного
пространства ?л существует дополнительное подпространство 9Jl9(dim2)?9 =
<7) такое, что
8" = 2F(r)9)i" (p + q = n).
Действительно, имеем
?л D тр D 0.
В пространстве ?л выберем максимальную совокупность векторов т)(1), ... ,
линейно независимую относительно и
пусть |(1), ... , 1(р) - максимальная совокупность векторов, линейно
независимых относительно 0, т. е. линейно независимых в обычном смысле.
Объединение
1(1).....1(р), Ц(1)......Ц(9)
в силу теоремы 2 представляет базис пространства ?л, поэтому
P+q = n.
Отсюда
где Шч - подпространство, натянутое на векторы rj(1)............
15 Б, П. Демидович
450
ПРИЛОЖЕНИЕ
2° Инвариантные подпространства. Пусть в век-торног'Л пространстве 8"
задано линейное преобразование А (гл. 1, § 5), переводящее 2п в самое
себя или в свою правильную часть, т. е.
AZn Cf.
Определение 4. Подпространство 8" называется инвариантным относительно
преобразования А, если каждый вектор X d Ш преобразованием А переводится
в вектор у = Ах Ш, т. е.
ЛаКСЭЛ.
Очевидно, нулевое подпространство и само пространство 8п инвариантны
относительно любого линейного преобразования в 8".
Кроме того, сумма и пересечение подпространств пространства 8П,
инвариантных относительно линейного преобразования А, суть также
^подпространства, инвариантные относительно преобразования А.
Если в пространстве 2" выбран базис ?,, ..., е" и
то преобразованию А соответствует матрица (матрица преобразования в
данном базисе, гл. I, § 5)
А =
~ an ¦ • aln '
_ am • . . Clfin
(12)
Матрица А, очевидно, является транспонированной относительно матрицы
системы (11). Отметим, что если A = [ajk], то aJk представляет собой /-ю
координату k-ro преобразованного базисного вектора.
Отсюда для любого вектора
x='ZjXkek
k
имеем
Ах - Qjk&j - QjkXk*
k k j j k
ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ 451
Таким образом, вектор у = Ах в данном базисе будет иметь представление
у = Ах,
где А-матрица преобразования.
Теорема 3. Если линейное пространство распадается впрямую сумму
нескольких подпространств:
g^aHie.-.ean,,
инвариантных относительно данного линейного преобразования А в 8п, то в
надлежащем базисе матрица А этого преобразования имеет квазидиагональный
вид
Л = diag(Аи ... , As), (13)
где Aj - квадратные матрицы, соответственно, порядков nj = = d im й){;-
(/ = 1, ... , s) и nv-\-... -j- ns - п.
Доказательство (см. [5]). Выберем в подпространствах SO?!, S)?(r), ... ,
S0?s соответственно базисы: е'1', ..., е(r), ...
..., 8^); ...; ..., в<^. Тогда в силу теоремы 2 их объединение
будет базисом пространства Так как Amp(zwp и при P?bq (р= 1, ... , s), то
A = а'/'е*') -}-••• + о'1*, в'1',
1 11 1 1 1 ^ll rtj'
Ле(1> = а(1> еП) 4-... 4- а(1) е(1)
П\ \П\ 1 1 1 ^1^1
= a(s> 4-... 4- a<s\ e<s>
1 II 1 I I nsl ns,
/}e<s) = a|s) 8s 4-... 4- a(s) e(s)
1 nc l I I л л n •
Отсюда, полагая Ar
г а{& . . a<P' П
и inP
I . a'p* П-П_ -J
(p = 1, ..., s),
будем иметь формулу (13).
Замечания. Матрицу Ар(р - 1.........s) можно рассматри-
вать как матрицу преобразования Ар, индуцируемого данным 15*
452 ПРИЛОЖЕНИЕ
преобразованием А на инвариантном подпространстве дЯр; иными словами,
преобразование Ар есть преобразование А, рассматриваемое лишь на
подпространстве 9Jip.
3° Алгебра преобразований. Пусть А и В- преобразования, действующие из 8"
в 8Л. Для х 8Л естественно определяются комбинированные преобразования
(см. гл. I, § 5):
a) произведение преобразования А на скаляр а:
(т.A) x = v. (Ах)
(в частном случае, если а = 0, имеем нулевое преобразование
Ох = 0);
b) сумма преобразований А и В:
(/1 -\-Й)х = Ах-\- Вх\
c) произведение преобразований А и В;
(АЁ)х = А (Вх)
и
(ВА)х = В(Ах).
В общем случае
АЁ^ЁА.
Вводя единичное преобразование
Ех = х,
можно определить обратное преобразование А'1 как преобразование (если оно
существует), удовлетворяющее условию:
А-1А = АА-\=Ё.
<* А
Если Л-1 и В~1 существует, то легко проверить, что
(Ав)-1 = в~1А-1.
Обычным способом определяются целые степени преобразований:
А' = АА, А3 = ААА, ...
А~* = А-1А~1, А-* = А-ХА-'А~\
