Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
причем
А"=Ё.
Очевидно, при любых целых р п q имеем
АрАч = Ар+".
ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ 453
Используя понятие степени преобразования для заданного полинома
9 (г) = a"zm + а1гт"1 -j-... -j- ат
с числовыми коэффициентами а0, аи ..., ат, можно найти соответствующее
преобразование
<? (А) = а0Ат + а,Ат~1 +... + атА\
где А° = Ё .
Покажем, что если преобразование^ А линейное (гл. I, § 5), то
полиномиальное преобразование <?(А) также линейное. Действительно, для
любых х, у ? и произвольных чисел аир имеем
А0 (ах -{- %У) = v-Х + $у = а.А°х + Р А"у,
А1 (ялг-р Ру) = *Ах-\- ?Ау,
А'2 (ах ру) = А (у-Ах + р Ау) = а А'2х + р А*у,
Ат (ах + ру) = А (аАт~1Х + р Ат ~1у) = аАтх + р Ату.
Отсюда, умножая эти равенства на коэффициенты а0, а{, си, ... , ап и
почленно складывая, получим
? [А) (*Х + Р.У) = аср (А) X + Р<р (А)у,
т. е. преобразование у (А) линейное.
Отметим, что если преобразования А и В линейные, то алгебраическим
операциям над этими преобразованиями соответствуют такие же
алгебраические операции над их матрицами (в одном и том же базисе).
4° Первая теор ема приведения. Пусть А - линейное преобразование,
действующее из f в f, и А - (л X я)-матрица этого преобразования в
некотором базисе.
Многочлен
Д (X) = det (IE -А) (14)
называется характеристическим полиномом преобразования А (или матрицы А),
а его корни - характеристическими числами (или собственными значениями)
преобразования А (а также матрицы А).
Как известно, характеристический полином, а следовательно, и
характеристические корни преобразования А не зависят от выбора базиса.
Согласно теореме Кейли (гл. I, § 10) матрица А является корнем своего
характеристического полинома, т. е. полином Д (А) аннулирует матрицу А:
Д(А) = 0.
454 ПРИЛОЖЕНИЕ
Так как алгебра линейных преобразований вполне аналогична алгебре матриц,
то преобразование А также является корнем своего характеристического
полинома, т. е.
Д(Л) = б. (15)
Поэтому полином Д(г) может быть назван полиномом, аннулирующим
преобразование А.
Ненулевой вектор х, удовлетворяющий условию
Ах = Хх,
где X - некоторое число, называется собственным вектором преобразования
А, отвечающим его собственному значению X (ср. гл. I, § 5).
Если А есть матрица данного преобразования А в некотором базисе, то
собственные векторы преобразования А в этом базисе могут быть определены
как нетривиальные решения однородной линейной системы (А - ХЕ) х - 0.
Поэтому все собственные значения X преобразования Л являются корнями
векового уравнения
det (ХЕ - А) = 0,
причем для каждого корня X = Ху существует один или несколько линейно
независимых соответствующих собственных векторов преобразования А.
Пусть Хь ..., Хт (т^п)-различные собственные значения преобразования А и
ри ..., рт - их кратности (pj^ 1,
..., т\ pi -f-... + рт - n). Тогда, очевидно, имеем
b(Z) = (Z-\1)Pl ... (Z-Xm)pm (16)
и, следовательно,
Д(Л) = (Л-Х1?)рх ... (А ХтЁУт.
Определение 5. Совокупность всех векторов х ? 2", удовлетворяющих
условию:
(А-ХуЁ)р/х = 0 (/=1 ,...,т), (17)
где pj - кратность характеристического корня kj, будем называть корневым
подпространством преобразования А, принадлежащим его собственному
значению Ху').
х) Обычно (см., например, [5]) под корневым пространством преобразования
А, принадлежащим его собственному значению Ху, понимается совокупность
всех векторов 1!п, для которых хотя бы при одном натуральном k = k[x]
выполнено соотношение
(A - \,E)kx = 0.
Так как впоследствии доказывается, что при построении корневого подпро-
ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ 455
Замечание. Для любого собственного значения Ху преобразования А
принадлежащее ему корневое подпространство tylj содержит собственные
векторы этого преобразования, отвечающие Ху, и, следовательно, не
сводится к нулевому вектору. Действительно, если
Ллг = Хул: (хфО),
то имеем
(А - Ху?)рл* = (Л - \jE)pi~ 1 (А - XjЁ)x = 0
и, следовательно, х 5Ш/.
Заметим, что корневое пространство Ш/ не содержит собственных векторов
преобразования А, отвечающих его собственным значениям Хь отличным от Ху.
В самом деле, если
Ay = hy СУ 9^0),
где Xfc ^ Ху, то
(А - Ь]Ё)р1у = (А - \jE)pi~ 1 (А - Ху?) у =
= (Xft - Ху) (А -\jE)pi - 1 у = (X* - \jYfy ф 0
и, следовательно, у Ш].
Таким образом, преобразование А на каждом его корневом подпространстве (/
= 1, ... , т) имеет единственное собственное значение Ху.
Лемма 1. Для всякого линейного преобразования /1 в f его любое корневое
подпространство является подпространством пространства ?л, инвариантным
относительно данного преобразования А.
Доказательство. Пусть fflfy (/=1, т) - корневое пространство линейного
преобразования, принадлежащее его собственному значению Ху, т. е.
множество всех векторов х удовлетворяющих условию (17). Для любых х^Ш] и
у (c)]/ и произвольных чисел аир имеем (см. 3°)
(Л - Ху?)р/'(алс -(- Р_у) =а (А - \jE)pix-\~ р (Л - \jE)piy =
= а0+р0 = 0.
Следовательно, алг+РУб ЗЛу, т. е. Ш;- есть подпространство пространства
?л.
странства можно ограничиться показателями k^pj, где pj-кратность
