Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 99

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 121 >> Следующая

почти периодических функций П, т. е.
(еих, е'>А') = 8^, где оХ|Х - символ Кронекера:
__(О, X ^ [х;
1, Х = ц.
Доказательство. Имеем
(7.4)
(ег> 1ЛГ, e'^x) = b\{eaxei,-'-x\ = \\m-]f \ е' °-- <')х dx. (7.5)
'/¦-00 1 ->
Так как
- p.) xfix - J i
i (>. - |X) 7
Т
если X ^ р.; , если Х = [л,
то из формулы (7.5) вытекает соотношение (7.4).
§ 8. Неравенство Бесселя
Пусть / (х) ? П и {е,Хх} - совокупность чистых колебаний (X
действительно). Тогда произведение / (л:)е'1АЛ'? П. Следовательно, для
каждой п. п. функции f(x) существует спектральная функция
а (X) = (/(*), еах) = Ъ\ {f{x)e~r,'x). (8.1)
В случае векторного пространства под проекцией (числовой) вектора х на
орт е понимается число
пре х = (лт, е).
Поэтому если п. п. функции рассматривать как рад и усы- векторы
функционального пространства П, то а (X) представляет собой числовую
"проекцию" функции j (х) на орг ех = е,Хх (рис. 60). При этом векторная
ортогональная проекция функции f (х) на орт ек, очевидно, есть a(k)elKx.
Лемма. Если функция f (х) почти периодическая, то для любого конечного
набора Хь X,, ... , kN различных действительных чисел справедливо
неравенство Бесселя:
390 ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [ДОП.
Доказательство. Полагая для краткости ап = а(кп), en = ei}"x, рассмотрим
выражение
дл' = Р'(/М. S anln) = (f(x) - ^ апеп, fix)- У]атет) =
/г-I п=\ т=\
N N
= if (X), f {X)) - J]an (еп, f (х)) - ? am (/ (x), em) +
n=1 m=\
N N
+ 2 e")¦ (8-3) я=1 m=l
В силу формулы (8.1) имеем
(е", fix)) = ifix), еп) = ап,
if ix)t Ст)-CLm,
кроме того, так как чистые колебания {ellx\ образуют ортонор-мированную
систему в пространстве П, то
i^nt &т) ==
где 8ят - символ Кронекера. Поэтому из формулы (8.-3) получаем Дд,= М{
\fix)-^anen |*} =
П= 1
=M{ifwi n-i: ia"i*-
л=1 m=l m-1
= M{[/(*)p}-f>"i2Ss0. (8.4)
Л-1
Следовательно,
2 |а"Г2^М{[/(л:Щ. (8.5)
/г= 1
Следствие. Неравенство Бесселя остается верным для
счетной совокупности действительных чисел Хь Х2, ...
В самом деле, из формулы (8.5) получаем, что для любой
последовательности действительных чисел Хь Х.1( ..., Х", ... ряд
СО СО
S ia"i*=SiQ(x")i9
п=\ п-\'
сходится, причем при N~>oo имеем
ПОНЯТИЕ О РЯДЕ ФУРЬЕ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
391
§ 9. Понятие о ряде Фурье почти периодической функции
Лемма. Для каждой почти периодической функции / (х) ее спектральная
функция
а(Х) = М{Д*) е }
(9.1)
отлична от нуля лить для конечного или счетного множества значений
аргумента л.
Доказательство. Пусть Л = {А: а(Х)^0}. Очевидно,
Л= 0,{Х:
Рассмотрим те значения X, для которых
|a(X)j:>4
(k = l, 2, ...). В силу неравенства Бесселя (§8), если это множество не
пусто, то оно содержит лишь конечное число элементов. А именно, если
\a(\s)\^~
(5=1, ... , N), то
N
У
МЛ
А-\а(К) |
\аа2)\
Рис. 61.
Отсюда
N^km{\f(x) |2}<со.
Таким образом, Л является объединением счетного множества
конечных множеств и, следовательно, мощность его не более чем счета а.
Итак,
а(Х) = О,
за исключением, быть может, конечной или счетной последовательности
значений Хь Х,2, ... (рис. 61).
Определение 1. Те значения X, для которых а(Х)^0, представляющие собой
конечную или счетную последовательность
действительных чисел ль Х.2.....называются показателями Фурье
соответствующей п. п. функции f(x), а числа
392
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ДОП.
- ее коэффициентами Фурье. На основании формулы (9.1) имеем
Ап = М {f (х) е~ДпЛ'}. (9.2)
Совокупность всех показателей Фурье п. п. функции будем называть ее
спектром.
Определение 2. Рядом Фурье п. п. функции f (х) называется конечный или
бесконечный тригонометрический ряд
f(x)<ui^]Anea-x, (9.3)
П
где {Ап} - спектр функции / (х) и Ап, определяемые формулой (9.2) (п= 1,
2, ...), -коэффициенты Фурье. Порядок членов ряда
Фурье п. п. функции, вообще говоря, произволен и зависит от упорядочения
ее спектра {Ап}. Заметим, что для п. п. функции }(х) = 0 (и только для
такой, как будет показано ниже (§ 14)) спектр функции представляет собой
пустое множество и ее ряд Фурье формально не определен. Обобщая понятие
ряда Фурье п. п. функции, разрешим дополнять сумму (9.3) любым
количеством нулевых членов вида 0-е!,'х и тогда будем считать,
что
п. п. функции f(x) = 0, с пустым спектром, соответствует нулевой ряд
Фурье
О с/э 2 0 • еапХ,
о
где счетная совокупность Хь Х3, ... произвольна.
Ряд Фурье п. п. функции f (х) иногда выгодно записывать в виде
континуальной суммы:
/(х)сл^а(}.)еах (- оо<Х<со), (9.4)
Л
без явного выделения показателей Фурье Хп, где а (к) определяется
формулой (9.1). Здесь подразумевается, что а(Х) = 0 для X, не равного
показателю Фурье функции, f {х)\ с этой, более общей точки зрения числа
а('к) будем также называть коэффициентами Фурье п. п. функции f(x).
Свободный член ряда Фурье представляет собой среднее значение функции, т.
е
а (0) = М {/(*)}.
Заметим, что члены ряда Фурье (9.4) являются векторными ортогональными
проекциями п. п. функции / (х) на соответствующие орты еи'х.
Предыдущая << 1 .. 93 94 95 96 97 98 < 99 > 100 101 102 103 104 105 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed