Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
то ограниченное решение л (t) также "-периодично.
Действительно, на основании формулы (5.10.2) имеем
4-оэ
Л(* + ")= $ G(/ + ce - ti)f(ti)dti =
- СО
4-00
= 5 G (t - ti) f(ti + "В) dti = л (t).
- СО
Теорема Боля (см. [62]), Пусть дана действительная система
% = Ау + уЦ,у), (5.10,8)
§ 10) ТЕОРЕМА БОЛЯ 361
где у==(уи yn), A = [ajk\ - постоянная (п \' п) -матрица,
ф(*. y)?Cty(It>$ \\У II <°°)-
Если
1) Re >v (А) Ф 0 (/=1, п), причем Re Х;(Л)^>0 при
j = 1, т, Re Х;(Л)<^0 при j = mJr\, ... , п (0 sg т ^ п);
2) sup || ф ((, 0) || =Г оо;
t
3) выполнено условие Липшица
II <Р (t, y) - <p(t, z) || ==5 N || у - г || при у <Е М1Г М1у,
то при достаточно малой константе Липшица N
Г) существует решение г| = г|(7) системы (5.10.8), определенное и
ограниченное на всей оси Itl)\
2') в пространстве имеются многообразия Sут и S"_OT, соответственно,
измерений тип - т такие, что решения у (t; 0, у0) системы (5.10.8)
обладают свойствами:
Нт [у (t; 0, уо) - 11(01 = 0, если _у0 ? SJ,, (5.10.9)
t->-(-СО
И
Yim[y(t-, 0, _у0) - Л (0 ] = 0, если у0 ? _т. (5.10.10)
(-*-СО
Доказательство. 1) Принимая ф (t, у) за свободный член, по аналогии с
формулой (5.10.2), рассмотрим интегральное уравнение
СО
У(0= $G(t-t,)q> (tu y(ti))dtu (5.10.11)
-со
где G(t) - функция, определенная в лемме. В силу свойств 1), 2), 3) и 4)
функции G(t) непрерывное ограниченное решение г|(0 интегрального
уравнения (5.10.11) является также решением дифференциального уравнения
(5.10.8).
Пусть
+СО
Ci= \ II G(0 II dt (Cl< оо)
-оо
И
+СО
у(0)(0= 5 Gd-t,) <p(tu 0)dtt.
') Сл)чаи т= 0 и т - п не исключаются.
362 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
На основании условия 2) имеем
+СО
НУ°Ч0 ||^ 5 II G (t-ti) II ||ф(/ь 0)||Л,^
-СО
+С°
sup || ф (ty, 0) || ^ || G(t - ty) || dt = Гс! = Г1.
*1 -СО
Выберем число Н такое, что
Н > 2Г]. (5.10.12)
В пространстве R непрерывных и ограниченных на It вектор-функций у (t\,
где
sup || у (t) || < Н, t
рассмотрим оператор Т, определяемый правой' частью интегрального
уравнения (5.10.11):
СО
Ty(t) = $ G(/-y?(/b y{ty))dty. (5.10.13)
- СО
Так как при || у || <[ Н имеем
SUP II ? (t, У) II sup || ср (t, 0) || -f- N sup || у
|| <С г + NH,
t. V t v
то при y(t)?R интеграл (5.10.13) сходится, причем равномерно на каждом
конечном промежутке a<^t<^b. Отсюда легко убедиться, что если y(t)<cR, то
Ty(t) имеет смысл для любого t?It и Ту (t) ? С {lt)- Далее, при у (t) ?R
будем иметь
СО
Ту (t) =у°> (0 + $ G (* - ty) [ф (ty, у (ty)) - ф (ty, 0)] dty.
-СО
Отсюда
| Ту (t) ||^|| у"" (0 || +
СО
-h л/sup II у (0 II 5 II G(tt) II dty^r{ + NHcy. (5.10.14)
1 "СО
Если выбрать константу Липшица N столь малой, чтобы
^<2^, (5.10.15)
гг
то из неравенства (5.10.14), учитывая, что Fx -g-, получим sup || Ту (t)
|| Гу + ^ < Н,
§ 10] ТЕОРЕМА БОЛЯ 363
Таким образом, при N, удовлетворяющем неравенству (5.10.15), получаем,
что если у (t) ? R, то Ту (t)? R. В дальнейшем мы будем предполагать, что
условие (5.10.15) выполнено.
Для функций y(t), z(t)t R введем расстояние р(у, г), полагая
Р (у, z) = sup || у (t) - z (t) || .
t
Тогда R будет являться метрическим пространством (см. § 5), причем это
пространство полное.
Убедимся теперь, что при условии (5.10.15) отображение Ty(t) будет сжатым
(§ 5). Действительно, если у (t), z (t) 6 R, то из формул
СО
Ty(t)= [ Gil-tjiffr, y{h))dty
- СО
И
со
Tz(t)= [ G(t-tt)ff(ti, у (ti)) dtu
- СО
используя условие Липшица 3), получим || Ty(t)-Tz(t) ||^
СО
N sup II y(t)~z (t) II 5 II G (t - и) II dti = NciP (y, z).
t -CO
Отсюда
p(Ty, Tz)z=zqp(y, z),
где
q = Nci < ~
в силу неравенства (5.10.15).
Таким образом, выполнены все условия принципа сжатых отображений (§ 5) и,
следовательно, существует непрерывное ограниченное на It решение т] (t)
интегрального уравнения (5.10.11), а значит, и дифференциального
уравнения (5.10.8), причем
sup II Л (0 II < Я-
t
Решение т] (t) может быть найдено методом последовательных приближений
СО
yl0'(t) = $ G (i-ty) if (tu 0)dtu
- СО
со
y^(t)= 5 G (t - tt) (tu у1*-" (h)) dti
- сс
(p = l, 2, ...).
364 АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. V
2) В системе (5.10.8) положим
у = ч (0 + А:.
Тогда будем иметь
d^ = Ax + ^(t, х), (5.10.16)
где
ty(t, X) = <t>(t, 4(0 + *) - ф(0 ч(0).
Очевидно, имеем
4>(f, 0) = 0
и
|| г|э (t, х') - г|з (t, х) || "S N || л:' - л; || (л:, х' 6 <э^),
причем
ф(0 л:)^0 при л;->-0.
Отсюда на основании теоремы об условной устойчивости (гл. IV, § 22)
заключаем о существовании многообразий Sm и Sn-т, обладающих,
соответственно, свойствами (5.10.9) и (5.10.10).
Замечание. Теорема остается в силе, если предположить, что условие
Липшица выполнено лишь в области: \\у\\<С^>
\\г\\<^Н, где постоянная Н удовлетворяет неравенству (5.10.12).
Следствие 1. Если q>(t, у) ш-периодична по t, то ограниченное решение г]
(0 также ш-периодично.
Действительно, в этом случае из равенства
СО
4(0= SG(^- *i)q>(*i, 4(h))dtl
-со
полз7чаем
со
Г](г + а))= 5 c(* + u> - r\(ti))dtt =
