Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
S IiaI= о (*"*)¦
I
в пространстве Е; мы будем называть коэффициентами линейного соотношения (5). Линейные соотношения (5), для которых (I1) есть первичный элемент подпространства V (%) относительно канонического базиса пространства К(р, будут называться первичными соотношениями между элементами at.
Пусть (ex)x?L — базис пространства E и at=2aiAA; соотно-
A.EL
шение (5) равносильно системе однородных линейных уравнений
2 ^aa = о (IeL) (H)
IE /
относительно Jjl. Тем самым V (?) есть пространство решений системы (6), а первичные соотношения между элементами а, соответствуют первичным решениям этой системы.
Поэтому из предложения 5 и теоремы 1 вытекает
Предложєние 6. Пусть (е,)-ксь — свободное семейство элементов векторного пространства E над телом К и (Cit)l?/ — семейство элементов из Е, каждый из которых является линейной комбинацией элементов е%, с коэффициентами, принадлежащими подтелу K0 тела К. При этих условиях коэффициенты первичных соотношений между элементами Cil принадлежат K0, и пространство линейных соотношений между этими элементами порождается множеством всех первичных соотношений.
Следствие 1. Если семейство (аь) свободное относительно А'п. то оно свободное относительно К.
Следствие 2. Если элемент х?Е есть одновременно линейная комбинация элементов е% с коэффициентами из K0 и. линейная
5
СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ
249
комбинация элементов U1 с коэффициентами из К, то он является линейной комбинацией элементов U1 с коэффициентами из K0.
Чтобы убедиться в этом, достаточно применить предложение 6 к семейству, образованному всеми aL и х.
Следствие 3. Ранг (§3, п° 2) множества А всех U1 относительно K0 равен рангу А относительно К.
Действительно, в силу следствия 1, максимальное свободное множество В Cl А относительно K0 является таковым также относительно К. и обратно.
.5. Подтело, ассоциированное с подпространством
Пусть E — векторное пространство над телом К, (а^^ — ето базис и F- подпространство. Как мы знаем (§ 4, п° 6), существует по крайней мере одна система линейных уравнений («система уравнений подпространства F») с коэффициентами из К:
VglCV=O (.U61/), (7)
41
такая, что F совпадает с множеством всех х =2 ?iai> rAe (Si)
I
пробегает множество всевозможных решений системы (7), состоящих из элементов тела К.
Предложение 7. Пусть K0-- подтело тела К. Для того чтобы подпространство V пространства E порождалось множеством F0 тех его элементов, компоненты которых (относительно («і)) принадлежат K0, необходимо и достаточно, чтобы существовала система уравнений этого подпространства, все коэффициенты которой принадлежат K0.
Согласно теореме 1, а), условие достаточно. Оно также необходимо: действительно, F0 есть подпространство векторного пространства E0 относительно K0, образованного всевозможными линейными комбинациями элементов aL с коэффициентами из К0\ поэтому существует система уравнений (7) подпространства F0 с коэффициентами из K0. Согласно теореме 1, а), V0 порождает подпространство пространства Е, определяемое той же системой; а так как, по предположению, F0 порождает в E подпро-
250
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § Г)
странство V, то определенная так система (7) и есть как раз система уравнений последнего в Е.
Предложение 8. Если подпространство V пространства E порождается некоторым множеством элементов, компоненты которых (относительно (at)) принадлежат подтелу K0 тела К, то компоненты всех первичных элементов этого подпространства (относительно базиса (Ctl)) принадлежат K0.
Пусть х = 2 ІА — первичный элемент из V; по предположе-
I
нию, V порождается семейством элементов &>,= 2 РяА, где все Px,
I
принадлежат K0. Покажем, что если (^?,) — решение системы
SCjlBu = Ii (^#), (8)
х
где Н — множество тех Ig/, для которых S1 = O ИЛИ I1 = I, то
2=2 Z,%bx есть не что иное, как х. Действительно, J (z — x)dCH, х
и следовательно, J (z —х) Cl J (х), причем І(г — х)ФІ(х), поскольку элемент X первичный; значит, в силу предложения 2, z-х = 0. Ho коэффициенты и свободные члены системы (8) принадлежат K0; следовательно (теорема 1,6)), эта система обладает решением, состоящим из элементов подтела K0, чем предложение -и доказано.
Предложение 8 подсказывает следующее определение:
Определение 2. Пусть E—векторное пространство над телом К' (at) — его баэис и V — подпространство. Подтелом тела К, ассоциированным с подпространством V относительно базиса (at), называется тело, порожденное компонентами первичных элементов из V относительно ((Z1).
Из предложений 7 и 8, если принять во внимание предложение 3, непосредственно вытекает другая характеристика подтела, ассоциированного с подпространством V:
Теорема 2. Подтело, ассоциированное с подпространством 1 пространства E относительно базиса (at) этого пространства, есть наименьшее из подтел K0 тела К, обладающих тем свойством,
«
СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ
251
что V порождается множеством всех своих элементов, компоненты которых принадлежат K0, а также наименьшее из подтел K0 таких, что существует система уравнений подпространства T71 все коэффициенты которых принадлежат K0.
