Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
<>. Применение: кольца эндоморфизмов тела относительно его подтел
Пусть К — произвольное тело и % (К) —кольцо эндоморфизмов его аддитивной группы (без операторов) (гл. I, § 8, п° 1); % (К) есть часть множества Kk всех отображений К в себя; если наделить К его структурой левого векторного пространства над К (произведением структур векторного пространства его сомножителей (§ 1, п0 4); напомним, что произведением а и элементов а?К и иg Kk служит отображение |—>аи(?) тела К в себя), то Ш {К) будет подпространством векторного пространства Kk, ибо для каждого и g g (К) имеем аи (? + т]) = а (и (?) + и (т])) = = аи (!) + аи (ті), каковы бы ни были ?, т] и а из К.
Заметим, что если agA', и?%(К), v?g(K), то a (uv) = (аи) и, но, вообще говоря, a (uv) Ф и (аи).
Для каждого подтела L тела К обозначим через Kl тело К, наделенное его структурой правого векторного пространства над L. Кольцо эндоморфизмов X (Kl) этого векторного пространства (§2, п° 5) есть подкольцо кольца Щ{К), образованное теми эндоморфизмами и аддитивной группы тела К, для которых и (1?.) = = и (I) X, каковы бы ни были | g К и X ? L; ясно, что X (Kl) есть также векторное подпространство (левого) векторного пространства % (К) над К. Нашей целью будет охарактеризовать среди всех подколец кольца % (К) кольца эндоморфизмов X (Kl), соответствующие тем подтелам L тела К, для которых размерность Kl относительно L (которую мы будем для краткости называть индексом LbK) конечна.
Заметим прежде всего, что (в прежних обозначениях) каждый элемент X из L обладает тем свойством, что и (E1X)=U (|) X для каждого I ? К и каждого и?&М =X(Kl). Обратно, для любого CZ CZ. Ш (К) множество всех X^ К, обладающих этим свойством, ,есть подтело тела К. Более общим образом;
252
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II1 § Ь
Предложение 9. Пусть E и F — правые векторные пространства над телом К и <М — некоторое множество представлений аддитивной группы (без операторов) E в аддитивную группу (без операторов) F. Множество K0 = ^(о/М) тех Ag К, для которых f(xX)=f(x)X, каковы бы ни были х?Е и з#, есть подтело тела К\ K0 есть наибольшее из подтел L тела К таких, что каждое fe&M есть линейное отображение EeF, где EuF рассматриваются как векторные пространства над L.
В самом деле, если L обладает этим последним свойством, то для каждого X^L действительно f(xX)=f (х)Х, каковы бы ни были х? E и /Є®//; таким образом, достаточно доказать справедливость первого утверждения. Прежде всего, K0 содержит единицу тела К и, значит, не сводится к 0; при этом, если X^K0 и K0, то очевидно X — 11 K0, так что K0 — под-
кольцо кольца К. Наконец, если Xg K0 и X Ф 0, то для всех х?Е и f?cdt имеем f(x)=f((xX~1)X) = f(xX~1)X, откуда f(xX'1)~ = J(X)X'1, и значит, X'1 ^K0.
Мы будем называть тело % (vll), определенное в предложении 9. подтелом тела К, ассоциированным с множеством представленийвЛ. В дальнейшем будет рассматриваться лишь случай E = F=K: в этом случае &М есть некоторое множество эндоморфизмов аддитивной группы К. Если, в частности, Jl состоит из изоморфизмов структуры тела К на структуру его подтела, то % (<М) есть не что иное, как множество тех элементов из К, которые инвариантны относительно всех изоморфизмов /Є <Л\ действительно, отношение «/ (|Х,)=/(I) X для всех \Є.К и /? оМч> принимает тогда вид / (I)/ (?) = / (I) X и, значит, равносильно отношению «f (X) = X для всех f?aM».
Нам потребуется также следующее вспомогательное предложение:
Предложение 10. Пусть E — левое векторное пространства над телом К, (aL) — его базис и V — подпространство. Пусть, далее, M — некоторое множество эндоморфизмов аддитивной группы Kuf для каждого /?»// — отображение E в Е, определяемое формулой /(2 ?iai) — 2/(У аі- Если в этих условиях f (V) CU V і і
для каждого f ? еМ, то подтело %УК>) тела К, ассоциированное с а#.
6
СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ
253
содержит подтело тела К, ассоциированное с V относительно базиса (at).
Пусть х?Е. Очевидно, в обозначениях n° 2, J (/(a;)) CZ J (я) для всех/Є&Ж. В частности, если у = 2 1IiaI — первичный элемент
I
подпространства F, то из предположения /(F)CZ F и предложения 2 п° 2 вытекает, что для каждого Ъ,?К существует [АЄ.ЙТ такое, что / (?,у) = ЦУ- Так как г\к = 1 для некоторого и, то /(|) = ц, и следовательно, /(ItIi)=Z(Dt)1 для каждого индекса і, каждого К и каждого /?&//; это означает, что компоненты каждого первичного элемента из F принадлежат %(&$), откуда, принимая во внимание определение 2, и вытекает справедливость предложения.
Следствие. Если M — некоторое множество таких изоморфизмов структуры тела К на структуру его подтела, что /(F)CZ F для каждого / Q а/И, то каждый элемент ассоциированного с F подтела тела К инвариантен относительно всех изоморфизмов fbaft.
Теперь мы в состоянии решить вопрос, поставленный в начале этого п°.
Теорема 3. Пусть К — тело и g (К) — кольцо эндоморфизмов его аддитивной группы, наделенное одновременно ссоей структурой левого векторного пространства над К.
а) Пусть L- подтело тела К\ для того чтобы кольцо эндоморфизмов X (Kl) правого векторного пространства Ki, над L было (левым) векторным подпространством в % (К), имеющим конечную размерность п над К, необходимо и достаточно, чтобы L имело в К индекс п.
