Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
р
1=1
rf>
МАТРИЦЫ
267
V. Треугольные матрицы. В случае, когда множеством L индексов служит интервал [1, /г] натурального ряда, треугольной матрицей называют квадратную матрицу п-то порядка, в которой = 0 при / > t ; говорят также, что эта матрица имеет над своей диагональю одни нули. Легко видеть, что треугольные матрицы образуют подкольцо кольца Mn(A); оно очевидно содержит кольцо диагональных матриц.
6. Транспонированная матрица
Пусть E п F — унитарные правые Л-модули, обладающий конечными базисами (ax)x^L и (Ьд)цем- Их сопряженные Е* и F* являются левыми Л-модулями; будем рассматривать их как правые модули над кольцом A0, противоположным. А (§ I, n° 1); базисы (а'}) и (?), сопряженные соответственно к (а%) и (?) (§ 4, п° 4), будут также базисами для Е* и F*, рассматриваемых как правые Л°-модули. Пусть теперь и — линейное отображение E в F и M (и) = (ацх)(1м, X)?Mxl — его матрица относительно базисов (ах) и (Ьц); найдем матрицу M(tU) сопряженного отображения 1U (§ 4, п° 9) относительно сопряженных базисов (?.) и (а'х).
Определение 4. Пусть X — (ацх)(н, ютхь — заданная матрица над кольцом А. Транспонированной матрицей или матрицей, транспонированной по отношению к X, называется матрица yX = (Pxn)(X1H)CbxM над кольцом A0, противоположным А, такая, что Рхіі = ацХ для каждой пары (к, (х).
Говорят также, что tX получается пх X путем перестановки строк и столбцов (подразумевая при этом, что и структура кольца А заменяется одновременно противоположной структурой).
Предложение 1. Матрица сопряженного отображения tU относительно базисов (?) и (а'х) равна транспонированной матрице ¦отображения и относительно базисов (ах) и (Ь^).
Действительно, пусть М(1и) = (&хц)(Х, ц)еьхм — матрица отображения 1U относительно базисов (Ъ\) и (а'х); по определению, Pxn есть ^-я компонента элемента lU(Bfll) в E*, т. е., согласно формуле (12) § 4, примененной к правым модулям,
(tU(Vv), ах) = (?, и(ах));
268
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § fr
но (Vv,, и (ах)} есть не что иное, как fi-я компонента элемент» и (ак) в F, т. е. адЛ.
Очевидно, ‘(‘Х) = Х. В силу формул (13) и (15) § 4, имеем ‘(X+ У) = tX+ 1Y, (И)
'(XZ) = tZtX (12)
всякий раз, когда матрицы X+Y и XZ определены. Разумеется, следует помнить, что в правой части формулы (12) произведения элементов матрицы 1Z на элементы матрицы 1X должны браться в кольце A0.
Применим предложение 1, в частности, к линейной форме х' на Е. Сопряженное к ней отображение есть не что иное, как линейное отображение Ad в Е* (рассматриваемое как правый .4“-модуль), обозначавшееся выше через 0Ж< (п° 4). Тем самым транспонирование однострочной матрицы M (х') (относительно базиса (ах) и базиса в Ad, образованного одним элементом е) дает одностолбцовую матрицу, элементами которой являются компоненты %х формы х' относительно базиса (ах) (рассматриваемые как элементы кольца ^4°); это также прямо вытекает из определения матрицы M (х'). В соответствии с принятым в п° 4 соглашением» эта одностолбцовая матрица отождествляется с элементом х' сопряженного модуля E*, и следовательно, соотношение (10) при и = х' дает
(х’, х) = 1х'-х. (13)
Пусть и — линейное отображение E в F\ для каждой линейной формы y'?F*, в силу (10) и предложения 1, имеем tU (y') = M (tU).y' = tM(U)-у'; поэтому соотношения (12) и (13) показывают, что
(1и(у'), х) = 1у'¦ М(и)-х, (14)
и фундаментальная формула (12) § 4 (записанная для правых модулей) принимает вид частного случая ассоциативности про-
изведения матриц:
1у'-(М(и)-х) = (1у'-М(и)).х.
Следует помнить, что в этих формулах элементы одностолбцовых матриц х', у' должны рассматриваться как принадлежащие A0, а элементы однострочных матриц 1х', 1у' — как принадлежащие А.
7
МАТРИЦЫ
269
Обратимые квадратные матрицы над А, с множеством L индексов строк и столбцов, соответствуют автоморфизмам модуля E (п° 5). Для каждого такого автоморфизма и контрагредиентный автоморфизм и сопряженного модуля Е* (§ 4, п° 10), являющийся обратным к 1и, совпадает с сопряженным к автоморфизму, обратному к и; таким образом, полагая X = M (и), в силу предложения 1 имеем M (и) = (1X)1 = ‘(X'1), что позволяет, не опасаясь двусмысленности, обозначать эту матрицу просто 1X_1; она называется матрицей, контрагредиентной к обратимой матрице X, и иногда обозначается X. Если X и Y — обратимые квадратные матрицы одинакового порядка над А, то, в силу (12),
‘(ХУ)"1 = (^'1) (‘У'1) (15)
(где произведения, входящие в матрицу, стоящую в правой части, берутся в кольце Л°).
7. Матрицы над телом
Матрицы из т строк и п столбцов над телом К оказываются во взаимно однозначном соответствии с линейными отображениями правого векторного пространства E = Kd в правое векторное пространство F=Kd, если каждому такому отображению отнесена его матрица относительно канонических базисов пространств E и F. По определению, ранг такой матрицы X есть ранг того линейного отображения и пространства EbF, которому она соответствует; так как это число, по определению, есть размерность подпространства и (E) пространства F, то это же можно выразить (отождествляя столбцы матрицы X с образами элементов канонического базиса пространства E при отображении и) посредством следующего определения:
