Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
2) Наиболее интересные приложения теоремы 3 относятся к случаю поля К\ как мы увидим в главе V, отсюда вытекают важные результаты теории Галуа.
Упражнения. 1) Определим в произведении A = ZX (Z/(2)) структуру коммутативного кольца, приняв за аддитивный групповой закон произведение аддитивных законов, заданных на Z и 11(2), и определив умножение формулой (п, є) (n', г') = (пп', пе'+я'є+ єє'). Пусть A0 — подкольцо кольца А, образованное элементами (п, 0), имеющее ту же единицу, что и А, и изоморфное кольцу Z. Показать, что в Л,,-модуле, порожденном каноническим базисом /1-м одул я А". существуют системы, свободные относительно A0 и не свободные относительно А.
*2) Пусть K0 — подтело тела К такое, что [К : К0\=2, E — векторное пространство относительно К, E0 — его подмножество, являющееся векторным пространством относительно K0, н V — наибольшее подпространство векторного пространства E (относительно К), содержащееся в E0. Показать, что если W0 — подпространство в E0 (относительно K11), дополнительное к V в E0, и W — порожденное им подпространство в E (относительно К), то V П W = {0}, иными словами, сумма Vj-W прямая. [Показать, что если (Xh)l<h<n—семей-
СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ
257
п
¦СТВО элементов ИЗ W0, свободное относительно K0, ТО 2 XkXk может
h=1
принадлежать Ea лишь тогда, когда все Xk принадлежат K0, взяв элемент ц из К, не принадлежащий K0, представить коэффициенты Xh в виде где Qh и ah принадлежат Kn.]
Предполагая E конечномерным относительно К, показать, что если E0 а Ец — векторные пространства относительно Zf0, содержащиеся в Е, а V и V' — наибольшие подпространства пространства E (относительно AT), содержащиеся соответственно в JS0 и E0, то для существования автоморфизма пространства Е, преобразующего Ea в Ea, необходимо и достаточно, чтобы En и E0 имели одинаковую размерность относительно K0, а V и V' — одинаковую размерность относительно К.
*3) Пусть L — бесконечное множество индексов и К — произвольное тело. Показать, что мощность каждого базиса векторного пространства Kl не меньше мощности множества ф (L). [Пусть —семейство всевозможных различных элементов из Kl, каждая координата которых равна 0 или I, E — порожденное им подпространство пространства Kl и NdM таково, что (а^^д-есть базис пространства E (§ 3, теорема 2); для каждого индекса ц'Є С N пусть Яд = 2 пРоектиРУя это соотношение на сомно-
V?]V
жители произведения Kl, показать, применяя теорему 1, что коэффициенты Iwv принадлежат подтелу K0 тела К, порожденному элементами 0 и 1; заметив, что Kij счетно, показать, что N и M равномощны; в заключение воспользоваться теоремой 2 § 3 и упражнением 24 § 1.]
В случае, когда мощность К не превосходит мощности ^(L), показать, что каждый базис пространства Kl равномощен 5|3 (L).
Вывести отсюда, что бесконечномерное векторное пространство над полем никогда не изоморфно своему сопряженному.
4) Пусть К — произвольное тело и S (К) — кольцо эндоморфизмов аддитивной группы (без операторов) К; для каждого и ? ? (К) и каждого X ? К обозначим через иХ эндоморфизм ? -»• и (Xl) группы AT; показать, что сложение и внешний закон (X, и) -*• иХ определяют в d (К) структуру правого векторного пространства над телом К. Пусть L — произвольное подтело тела AT. Показать, что кольцо эндоморфизмов правого векторного пространства Kl есть (правое) векторное подпространство в 6 (К), наделенном указанной структурой. Показать, что в утверждениях б) и в) теоремы 3 предположение, что аМ содержат единицу кольца е (К), можно, не нарушая справедливости заключений теоремы, заменить предположением, что аМ есть правое векторное подпространство пространства 4 (AT).
. Бурбаки
258
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 6
§ 6. Матрицы
1. Определение матриц
Определение 1. Матрицей над непустым множеством E называется всякое семейство (аяц)(я, ^lxm элементов из Е, множеством индексов которого является произведение двух конечных множеств L, М. Семейство (а;,ц)цсм для каждого X? L называется строкой с индексом X (или Х-й строкой) матрицы, семейство (ахц)л?L для каждого |J, g M называется столбцом с индексом ц (или \il-m столбцом) матрицы.
Наименования «строка» и «столбец» происходят от того, что в случае, когда LnM- интервалы [I, т] и [1, п\ натурального ряда, элементы матрицы представляют размещенными по ячейкам прямоугольной таблицы, состоящей из т строк (расположенных горизонтально) и п столбцов (расположенных вертикально):
Ho условию, если тип — явно заданные целые числа, такая таблица действительно считается символом рассматриваемой матрицы; эта запись освобождает от указания индексов, поскольку подразумевается, что индексы элемента определяются его местом в таблице; например, говоря о матрице
имеют в виду матрицу К])к{<2 i<js3’ в которой ап = а, Ct12= Ь,
Говоря о матрице из т строк и п столбцов без указания множеств индексов строк и столбцов, подразумевают, что этими множествами служат соответственно интервалы [1, т] и [1, п\ натурального ряда.
Каждая матрица, одно из множеств L, M индексов которой пустое, есть не что иное, как пустое семейство элементов множества Е; она называется также пустой матрицей. В случае, когда L = {Х0\ и M = {ц0}—множества, сводящиеся к одному элементу, матрицу, имеющую Lvl M своими множествами индексов, часто отождествляют с единственным образующим ее элементом.
