Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
б) Пусть M — подкольцо кольца g (К), содержащее тождественное отображение К на себя и являющееся (левым) векторным подпространством в % (К) над К; для того чтобы подтело %(<М) тела K^ ассоциированное с a/ft, имело в К конечный индекс п, необходимо и достаточно, чтобы <м было размерности п над К.
в) Пусть Ф — множество всех подтел L конечного индекса тела KuW- множество всех подколец м кольца '?. (К), содер-
254
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 5
жащих тождественное отображение К на себя и являющихся конечномерными (левыми) векторными подпространствами в Ш{К) над К\ L-^X(Kl) есть взаимно однозначное отображение Ф на 1F1 имеющее своим обратным отображение еМ —> % (aJfl).
а) Заметим прежде всего, что каждая линейная форма х' на векторном пространстве Kl есть линейное отображение Kl в LCZK и, значит, эндоморфизм векторного пространства Kl.
Предположим, что Kl имеет размерность п над L, и пусть (at)i=si^n —базис Kl, а (ді) — сопряженный базис в К*. Покажем, что (а'і) есть также базис (левого) векторного пространства X (Kl) над телом К; действительно, для каждого эндоморфизма и этого
тела и каждого элемента х = 2 аЛі имеем и (я) = 2 u (я4)|4 =
І І
= 2 и (ai) а'г (х)’ иными словами, в векторном пространстве X (Kl)
г
над К u = 2u(ai)ab и значит, элементы а\ порождают X(Kl):
І
при этом они линейно независимы в X (Kl), ибо 2 ^iGi=O (^i 6 К)
І
означает, что 2^^(^) = 0 для каждого х? К, и в частности, І
2 XiCLri (a;) = 0, т. е. ^j-=O, для каждого индекса/. Эта последняя І
часть рассуждения сохраняет силу также в случае, когда Kl обладает бесконечным базисом (at), и показывает, что в этом случаекоординатные формы а'і линейно независимы в X (Kl), так что' X(Kl) в этом случае бесконечномерно над К.
б) Покажем, что если Jl — подкольцо кольца g (К), содержащее тождественное отображение К на себя (служащее •в g (К) единицей) и являющееся re-мерным (левым) векторным пространством над К, то тело L = ^(Jl) будет иметь в К индекс га'<га; отсюда будет следовать, что е#, которое (по определению подтела L) содержится в X (Kl), будет, согласно а), иметь размерность < п' и, следовательно, что п' = п и X(Kl)=S.
Пусть (1<г<ге+1)—произвольные гаH-I элементов из Kl; мы покажем, что они образуют зависимую систему в Kl, чем будет доказано, что размерность Kl не превосходит га. Рассмотрим!
СУЖЕНИЕ ТЕЛА СКАЛЯРОВ
255'
отображение и—>(и(Ь4)) пространства <Jt в левое векторное пространство К™*1; это — линейное отображение, и его ранг <п, поскольку аЛЬ «-мерно. Пусть V — образ &ІІ при этом отображении; V есть подпространство в Kf+1, имеющее размерность В обозначениях предложения 10 (и при отнесении K^+1 к его каноническому базису), для любой пары эндоморфизмов и и v из еМ имеем тогда (v (и ^bi))) — (v (и (I)i))) ? V, поскольку vou?aM; иными словами, v (V) CZ V для каждого эндоморфизма v?a%; значит, согласно предложению 10, тело L—%(&M) содержит подтело тела К, ассоциированное с V (относительно канонического базиса в Kg+1). Согласно теореме 2, существует система уравнений подпространства V, все коэффициенты которой принадлежат L; следовательно (поскольку V имеет размерность </г), существует хотя бы одно семейство (A4), состоящее из /г+1 элементов тела L, не
всех равных нулю, такое, что 2 и (^,) Для каждого эндомор-
г
физма uga//; согласно определению подтела L=%(e#), это соотношение может быть записано также в виде Ii(^lbiXi) = Q; беря,
І
в частности, за и тождественное отображение К на себя, получаем ^biXi = 0, чем и доказано, что bt образуют в Kij зави-І
симую систему.
Обратно, если предположить ait таким, что Kl имеет конечную размерность п, то а#, которое содержится в X (Kl), в силу а), конечномерно, и значит, по предыдущему, размерность Kl равна размерности aft.
в) При доказательстве утверждения б) мы видели, что если M ? ? и L=X (dit), то X (К!_)=&#'. С другой стороны, если LgCD имеет в К конечный индекс п, то o/il—X (Kl) имеет размерность п над К, и значит, тело L'=% (оМ) в К имеет индекс п; так как LdL', то, согласно следствию предложения 1, отсюда вытекает, что L' имеет размерность 1 над L, т. е. что L' =L.
Следствие. L — -X (Kl) есть убывающее отображение Ф на vFf (упорядоченных по включению). Если L, L' — подтела конечных индексов тела К, то подтело L" тела К, порожденное множеством L[_\L’, будет конечного индекса в К, а X (Kl-) будет пересечением
256
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 5
X (К]_) и X (KL>); если при этом и тело Lf] L' — конечного индекса в К, то X (KLf]u) есть наименьшее принадлежащее W кольцо, содержащее X (Kl) и X (KL>).
То, что отношение LdL' равносильно отношению X(Kl)ZD ZD X (Kl'), вытекает из определения X (Kl) и теоремы 3; а отсюда сразу вытекает сформулированное следствие (то, что тело L", порожденное множеством L [J L', будет иметь конечный индекс в К, если хотя бы одно из тел L, L' имеет конечный индекс, вытекает из следствия предложения 1).
Замечания. 1) Отметим, что доказательство теоремы 3 сохраняет силу, если в ее пунктах б) и в) не предполагать, что оШ содержит единицу кольца Ц (К), но потребовать лишь, чтобы сМ удовлетворяло следующему (более слабому) условию: для каждого ненулевого элемента | из К существует и ? oil такое, что и (?) ф 0. Тем самым это условие для подкольца с# в S (Л ), являющегося конечномерным (левым) векторным пространством над К, влечет, что аМ содержит единицу кольца J (К)\ заметим, кроме того, что тогда аМ вместе с каждым своим элементом и, обратимым в $ (К), содержит и обратный ему элемент и; в самом деле, для каждого X ? X (°-Щ и каждого \ ^ К имеем u(v(^X))=lX, откуда u(v (I1X) Х~1) = 1, т. е. V(IX)^1=V(I), и, наконец, V(IX)=V(I)X.
