Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 1. Система скалярных линейных уравнений на векторном пространстве, образованная конечным числом уравнений, в левых частях которых стоят линейно независимые формы, всегда обладает решением.
Следствие 2. Для того чтобы однородная система линейных уравнений (8) относительно п неизвестных (с коэффициентами из тела К) обладала нетривиальными решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был < п.
238
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
гл. II, § 4
В частности, так всегда будет, если всех уравнений системы — конечное число < Tl.
Следствие 3. Для того чтобы линейная система (8) (с коэффициентами и свободными членами из тела К), состоящая из п уравнений с п неизвестными, обладала одним и только одним решением, необходимо и достаточно, чтобы ассоциированная с ней однородная система не имела нетривиальных решений (или, что то же, чтобы левые части уравнений системы были линейно независимыми формами).
Замечание. Критерий существования решения системы (7),
, сформулированный в теореме 2, уже не является достаточным, когда это система бесконечного ранга; например, если х' — координатные-
формы в бесконечномерном пространстве E = K^P (п° 4), то критерий теоремы 2 выполняется при любых свободных членах, поскольку Xfl линейно независимы; но система (7) допускает решение только тогда» когда все т]{, за исключением конечного их числа, равны нулю.
9. Сопряженное линейное отображение
Пусть E и F — Л-модули, Е* и F* — сопряженные модули и и — линейное отображение EbF. Для каждой линейной формы y'?F* композиция х = у’ о и есть линейная форма на Е.
Определение 5. Отображением tU, сопряженным к линейному отображению и модуля E в модуль F, называют отображение у'—>у' о и сопряженного к F модуля F* в сопряженный к E модуль Е*.
Таким образом, сопряженное отображение iU определяется
тождеством относительно х и у'
{и(х), у') = (х, ‘и (у’)). (12)
Отображение tU линейно, ибо для всех у' ? F*, zr ? F* и Х? А имеем (y'-\-z')ou = у' о u-\-z' о и и (у’Х)°и = (у' о и) X. Если и и у —линейные отображения E в F, то
1(и-\-и) = 1и + 1р (13)
и
‘(Ku) = Х‘и (14)
для каждого X, принадлежащего центру кольца А.
9 двойственность 239
Пусть G — третий А -модуль, и — линейное отображение E в F и V — линейное отображение FbG; согласно (12), имеем, тождественно относительно X ? E и z'?G*,
(v(u(x)), z’) = (u(x), tv(z’)) = (x, ‘и(^(г’))),
откуда
'(Boii) = lMol;). (15)
В случае, когда E ж F — унитарные ^4-модули, обладающие конечными базисами и, значит, отождествимые каждый со своим вторым сопряженным (п° 4), тождество (12) показывает, что отображение *(1и), сопряженное к отображению tU, совпадает с и и что каждое линейное отображение F* в Е* является сопряженным к некоторому линейному отображению EbF.
Предложение 13. Пусть и — линейное ощображение модуля E в модуль F. Для того чтобы элемент y' g F* был ортогонален к подмодулю и (E) модуляF, необходимо и достаточно, чтобы tU (у')=0.
Действительно, согласно (12), отношение «(и(х), у')=О для каждого х?Е» равносильно отношению «(х, fu(y'))=0 для каждого х?Е», т. е. отношению 1и(у')=0.
В случае, когда E и F — векторные пространства, из предложений 13 и 10 вытекает следующая характеристика подпространства и (E):
Теорема 3. Пусть и — линейное отображение векторного пространства E в векторное пространство F и V=tU — сопряженное отображение F* в Е*. Для того чтобы уравнение и(х) = у0 имело хотя бы одно решение (т. е. чтобы у0?и(Е)), необходимо и достаточно, чтобы у0 было ортогонально к подпространству
V’ = v (O) пространства F*.
Действительно, согласно предложению 13, V есть подпространство в F*, ортогональное к и (E), и значит (предложение 10) и (E) есть подпространство в F, ортогональное к V.
Следствие. Для того чтобы линейное отображение и векторного пространства E в векторное пространство F было отображением E на F, необходимо и достаточно, чтобы iU было изоморфизмом F* в Е*.
240
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. II, § 4
Будем далее предполагать, что E ж F — векторные пространства, и сохраним обозначения теоремы 3; в силу предложения 5, сопряженное к подпространству и (E) пространства F изоморфно F*j Vf (поскольку и (E) обладает в F дополнением); но, согласно определению V', F*/V' изоморфно tU (F*); таким образом:
Теорема 4. Если и — линейное отображение векторного пространства E в векторное пространство F, то сопряженное к подпространству и (E) пространства F изоморфно подпространству lu(F*) пространства Е*. В частности, если и — отображение конечного ранга, то и и 1U имеют одинаковый ранг.
10. Контрагредиенпгные изоморфизмы
Предложение 14. Пусть и — изоморфизм модуля E на модуль F; тогда 1и есть изоморфизм F* на Е*; если v — изоморфизм, обратный к и, то 1V —изоморфизм, обратный к 1и.
Действительно, так как x’=y'°v влечет y'—x'ov, то tU есть изоморфизм F* на E*, a tV — обратный ему изоморфизм.
Определение 6. Пусть и — изоморфизм модуля E на модуль F. Изоморфизмом, контрагредиентным к и (или отображением, контрагредиентным к и), называют изоморфизм и, сопряженный к изоморфизму, обратному и (равный, согласно предложению 14, изоморфизму, обратному к 1и).
